Mecanică lagrangiană

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Prin Mecanică lagrangiană sau ecuațiile lui Lagrange se înțelege o reformulare a mecanicii newtoniene, formulată întâia oară în anul 1788 de matematicianul Joseph Louis Lagrange. Reformularea presupune caracterizarea unui sistem mecanic printr-o singură funcție scalară numită funcția Lagrange a sistemului sau, mai simplu, lagrangianul sistemului. Analiza acestei funcții permite determinarea ecuațiilor de mișcare ale sistemului care, odată rezolvate, relevă toate informațiile necesare analizei dinamicii sistemului.

Lagrangianul[modificare | modificare sursă]

Într-un sistem cu un potențial de forță generalizat și un număr adecvat de constrângeri, lagrangianul este definit ca

 \mathcal{L} = T - V

unde T este energia cinetică a sistemului, iar V cea potențială.

Ecuațiile de mișcare[modificare | modificare sursă]

Pentru a caracteriza integral un sistem mecanic cu N grade de libertate și k constrângeri independente este nevoie de N-k variabile, care se numesc coordonate generalizate și sunt notate cu q_1, q_2 \ldots q_{N-k}. Coordonatele generalizate pot fi asociate cu câte o masă din cadrul sistemului mecanic, notate m_1, m_2 \ldots m_{N-k}.

Energia cinetică totală a sistemului (notată T) se poate obține deci însumând pătratele vitezelor generalizate (derivatele coordonatelor generalizate după timp, notate \dot{q}_1, \dot{q}_2 \ldots \dot{q}_{N-k}) înmulțite cu jumătatea masei corespunzătoare. Energia potențială poate varia în funcție de natura sistemului mecanic.

T = \sum_{j}{\frac{1}{2}m_j\dot{q}_j^2}

Prin ecuațiile de mișcare ale sistemului se înțelege atunci un sistem de N-k ecuații diferențiale (câte una pentru fiecare coordonată generalizată), formulate astfel:

\frac{\text{d}}{\text{d}t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_j} - \frac{\partial{\mathcal{L}}}{\partial q_j} = 0\,.

Ecuațiile mai sunt cunoscute sub numele de ecuațiile Euler-Lagrange și rezultă din aplicarea principiului Hamiltonian, conform căruia fiecare sistem mecanic de dezvoltă în timp în așa chip, încât integrala acțiunii să fie minimală.

Proprietăți ale Lagrangianului[modificare | modificare sursă]

Variabile ciclice și simetrii[modificare | modificare sursă]

Dacă lagrangianul nu depinde explicit de vrei coordonată generalizată q_k, atunci aceasta se numește variabilă ciclică sau coordonată ciclică. Prezența în calcul a unei variable ciclice indică prezența în sistem a unei simetrii. Ecuația de mișcare pentru coordonata q_k ia atunci forma mai simplă:

\frac{\text{d}}{\text{d}t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_j} = 0\,.

indicând că acea cantitate notată \partial \mathcal{L}/\partial \dot{q}_j (Impulsul asociat coordonatei q_k) este o cantitate conservată. Faptul că orice simetrie continuă a unui sistem rezultă în conservarea unei cantități este enunțul principal al Teoremei lui Noether.

Exemple[modificare | modificare sursă]

Masă aflată într-un potențial de forță armonic (conservativ)[modificare | modificare sursă]

Oscilator armonic: x este deplasarea masei din poziția în repaus

O masă m fie conectată prin două arcuri cu constanta de elasticitate D la doi pereți ficși. Avem deci o singură coordonată generalizată x, anume distanța masei de punctul de echilibru. Pentru acest sistem se determină lagrangianul după definiție. T este energia cinetică iar V cea potențială:

T = \frac{1}{2}m\dot{x}^2
V = \frac{1}{2}Dx^2

Lagrangianul este deci diferența:

L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - \frac{1}{2}Dx^2

Se introduce lagrangianul în ecuația de mișcare:


{d\over dt}{\partial{\mathcal{L}}\over \partial{\dot{x}}}={\partial{\mathcal{L}}\over \partial x}

Evaluând expresiile și simplificând avem:

\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(m\dot{x}\right)=-D x

Se obține deci o ecuație diferențială a mișcării:

\ddot{x} = -\frac{D}{m} x.

Soluția acestei ecuații diferențiale de gradul al 2-lea se obține prin Ansatz-ul x(t)=A\cos(\omega t + \varphi), t fiind timpul, iar \omega=\sqrt{D/m} frecvența oscilării. Amplitudinea constantă A și faza \varphi pot fi determinate din condițiile inițiale sau marginale ale sistemului.

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Nolting, Wolfgang, Grundkurs Theoretische Physik 2: Analytische Mechanik [Elektronische Ressource], Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2011), ISBN 978-3-642-12950-6