Divizibilitate

În matematică noțiunea de divizor a apărut inițial în contextul aritmeticii numerelor întregi. Odată cu dezvoltarea inelelor, dintre care întregii sunt arhetipul, noțiunea originală de divizor a fost extinsă natural.

Divizibilitatea este un concept util pentru analiza structurii inelelor comutative din cauza relației sale cu structura idealelor unor astfel de inele.

Exemple[modificare | modificare sursă]

În inelul numerelor întregi $R=\mathbb {Z}$ fie elementele $a,b$ .

$a=4$ este un divizor al lui $b=12$ , deoarece la $12/4=3$ cu restul $0$ sau, exprimat diferit și mai potrivit pentru generalizare, există $x=3\in R$ astfel încât $ax=b$ .
$a=4$ nu este un divizor al lui $b=13$ , deoarece la $13/4=3$ cu restul $1$ nu există nici un $x\in R$ astfel încât $ax=b$ .

În corpul numerelor reale $S=\mathbb {R}$ , o extensie a numerelor întregi, avem

$a=4$ încă este un divizor al lui $b=12$ , deoarece la $12/4=3$ există $x=3\in S$ astfel încât $ax=b$ .
$a=4$ devine un divizor al lui $b=13$ , deoarece la $13/4=3,25$ , acesta este acum un număr real în $S$ respectiv există $x=3,25\in S$ astfel încât $ax=b$ .

În inelul de polinoame cu coeficienți întregi $R'=\mathbb {Z} [X]$ avem

$a=X+1$ este un divizor al lui $b=X^{2}-1$ , deoarece prin împărțirea polinomială $(X^{2}-1)/(X+1)=X-1$ cu restul $0$ există $x=X-1\in R'$ astfel încât $ax=b$ .
$a=X+3$ nu este un divizor al lui $b=X^{2}-3$ , deoarece la $(X^{2}-3)/(X+3)=X-3$ cu restul $6$ nu există nici un $x\in R'$ astfel încât $ax=b$ . De fapt, se poate arăta că $b=X^{2}-3$ nu are niciun divizor netrivial, ceea ce în acest caz înseamnă că polinomul de gradul al doilea $b$ nu are divizori liniari, cum ar fi $a=X+3$ .

În inelul de polinoame cu coeficienți reali $S'=\mathbb {R} [X]$ , o extensie a polinoamelor cu coeficienți întregi, avem

$a=X+1$ încă este un divizor al lui $b=X^{2}-1$ , deoarece la $(X^{2}-1)/(X+1)=X-1$ există $x=X-1\in S'$ astfel încât $ax=b$ .
$b=X^{2}-3$ are divizori netriviali, explicit ${\tilde {a}}=X+{\sqrt {3}}$ , deoarece la $(X^{2}-3)/(X+{\sqrt {3}})=X-{\sqrt {3}}$ există ${\tilde {x}}=X-{\sqrt {3}}\in S'$ astfel încât ${\tilde {a}}{\tilde {x}}=b$ . De observat că $a=X+3$ tot nu este un divizor al lui $b=X^{2}-3$ , din același motiv ca la $R'=\mathbb {Z} [X]$ de mai sus.

Aceste exemple ilustrează faptul că noțiunea de divizibilitate nu depinde numai de elementele $a$ și $b$ în sine, ci și de contextul structurii algebrice a unui inel de care aparțin $a,b$ și operația de înmulțire. În general, divizibilitatea se conservă în extensii, unde poate fi dobândită mai multă divizibilitate.

Definiție[modificare | modificare sursă]

Fie $R$ un inel (în acest articol, se presupune că inelele au elementul 1) și $a$ și $b$ elemente ale lui $R$ . Dacă există un element $x$ în $R$ cu $ax = b$ , se spune că $a$ este un divizor la stânga al lui $b$ , iar acel $b$ este un multiplu la dreapta al lui $a$ .^[1] Similar, dacă există un element $y$ în $R$ cu $ya = b$ , se spune că $a$ este un divizor la dreapta al lui $b$ , iar acel $b$ este un multiplu la stânga lui $a$ . Se spune că $a$ este un divizor al lui $b$ dacă este atât un divizor la stânga, cât și un divizor la dreapta al lui $b$ ; variabilele $x$ și $y$ de mai sus nu trebuie să fie egale.

Când $R$ este comutativ, noțiunile de „divizor la stânga” și „divizor la dreapta” coincid, așa că se spune simplu că $a$ este un „divizor” al lui $b$ , sau că acel $b$ este un multiplu al lui $a$ , și se scrie $a\mid b$ . Elementele $a$ și $b$ ale unui domeniu de integritate sunt asociate dacă există atât $a\mid b$ cât și $b\mid a$ . Relația de asociere este o relație de echivalență pe $R$ , deci împarte $R$ în clase de echivalență^⁠(d) disjuncte.

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Enunțurile despre divizibilitatea într-un inel comutativ $R$ pot fi traduse în enunțuri despre ideale principale. De exemplu,

$a\mid b$ dacă și numai dacă $(b)\subseteq (a)$ .
Elementele $a$ și $b$ sunt asociate dacă și numai dacă $(a)=(b)$ .
Un element $u$ este o unitate^⁠(d) dacă și numai dacă $u$ este un divizor al fiecărui element din $R$ .
Un element $u$ este o unitate dacă și numai dacă $(u)=R$ .
Dacă $a=bu$ pentru o unitate $u$ , atunci $a$ și $b$ sunt asociate. Dacă $R$ este un domeniu de integritate, atunci reciproca este adevărată.
Fie $R$ un domeniu de integritate. Dacă elementele din $R$ sunt total ordonate după divizibilitate, atunci $R$ se numește inel de valuare^⁠(d).

Mai sus $(a)$ este idealul principal al $R$ generat de elementul $a$ .

Zero ca divizor și ca divizor al lui zero[modificare | modificare sursă]

Unii autori cer ca definiția divizorului $a$ să conțină faptul că divizorul trebuie fie diferit de zero, dar acest lucru face ca unele dintre proprietățile de mai sus să eșueze.
Dacă se interpretează definiția divizorului literal, orice $a$ este un divizor al lui 0, deoarece se poate lua $x = 0$ . Din această cauză tradițional se abuzează de terminologie făcând o excepție pentru divizorii lui zero: un element $a$ dintr-un inel comutativ se numește divizor al lui zero dacă există un $x$ nenul astfel încât $ax = 0$ .^[2]