Inegalitatea lui Bernoulli

Graficele funcţiilor
$y = (1+x)^r \,$  , în roşu
$y = 1 + rx \,$  , în albastru.
S-a luat   $r=3 \,$

Inegalitatea lui Bernoulli, atribuită lui Jakob Bernoulli (1654 - 1705), reprezintă una din inegalitățile care stau la baza teoretică a analizei matematice.

Enunț

Dacă $x, r \in \mathbb{R}$,   cu  $x \ge -1$ și   $r \ge 0$,   atunci:

$(1+x)^r \ge 1+ rx$ .

Demonstrație

Cazul $r \in \mathbb{Z}$

Se aplică metoda inducției complete.

Pentru $r = 0 \,$, inegalitatea este echivalentă $1 \ge 1$  , ceea ce este evident.

Să presupunem că inegalitatea se verifică pentru $r = n \,$ și să demonstrăm că acest lucru implică valabilitatea și pentru $r = n+1 \,$.

Din $(1+x)^n \ge 1 + nx$ rezultă

$(1 + x)(1 + x)^n \ge (1+x)(1 + nx)$

și aceasta deoarece $(1 + x) \ge 0$.

$\iff$

$(1 + x)^{n+1} \ge 1 + nx + x + nx^2$

$\iff$ $(1 + x)^{n+1} \ge 1 + (n +1)x + nx^2$ .

Cum însă $1 + (n + 1)x + n x^2 \ge 1 + (n + 1)x$

(  deoarece $nx^2 \ge 0$  )

rezultă

$(1 + x)^{n+1} \ge 1 + (n + 1)x$

așadar, propoziția este valabilă și pentru $r = n + 1 \,$

Cazul $r \in \mathbb{R}$

În acest caz, se va face apel la noțiunea de derivată.

Bibliografie

• Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957
• Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974

Legături externe

• en Inegalitatea la MathWorld
• en Inegalitatea la PlanetMath.org