Inegalitatea lui Bernoulli

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Graficele funcţiilor
 y = (1+x)^r  \,  , în roşu
 y = 1 + rx \,  , în albastru.
S-a luat    r=3 \,

Inegalitatea lui Bernoulli, atribuită lui Jakob Bernoulli (1654 - 1705), reprezintă una din inegalitățile care stau la baza teoretică a analizei matematice.

Enunț[modificare | modificare sursă]

Dacă  x, r \in \mathbb{R} ,   cu   x \ge -1 și    r \ge 0 ,   atunci:


 (1+x)^r \ge 1+ rx .


Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Cazul  r \in \mathbb{Z} [modificare | modificare sursă]

Se aplică metoda inducției complete.

Pentru  r = 0 \,, inegalitatea este echivalentă  1 \ge 1  , ceea ce este evident.

Să presupunem că inegalitatea se verifică pentru  r = n \, și să demonstrăm că acest lucru implică valabilitatea și pentru  r = n+1 \, .


Din  (1+x)^n \ge 1 + nx rezultă


 (1 + x)(1 + x)^n \ge (1+x)(1 + nx)

și aceasta deoarece  (1 + x) \ge 0 .

 \iff

 (1 + x)^{n+1} \ge 1 + nx + x + nx^2

 \iff  (1 + x)^{n+1} \ge 1 + (n +1)x + nx^2 .

Cum însă  1 + (n + 1)x + n x^2 \ge 1 + (n + 1)x

(  deoarece  nx^2 \ge 0  )

rezultă

 (1 + x)^{n+1} \ge 1 + (n + 1)x

așadar, propoziția este valabilă și pentru  r = n + 1 \,

Cazul  r \in \mathbb{R} [modificare | modificare sursă]

În acest caz, se va face apel la noțiunea de derivată.


Generalizare[modificare | modificare sursă]

Aplicații[modificare | modificare sursă]

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957
  • Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974


Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]