Curbe eliptice

Catalog de curbe eliptice. Regiunea afișată este [−3,3]² (pentru (a, b) = (0, 0) funcția nu este derivabilă și, prin urmare, nu este o curbă eliptică. )

  În matematică, o curbă eliptică este o curbă algebrică diferențiabilă, proiectivă, de gen unu, pe care se află un punct O specificat. O curbă eliptică este definită peste un corp K și descrie punctele din K², produsul cartezian al lui K cu el însuși. Dacă corpul are caracteristica diferită de 2 și 3, atunci curba poate fi descrisă ca o curbă algebrică plană care, după o schimbare liniară de variabile, constă din soluțiile (x, y) ale ecuației:

$y^{2}=x^{3}+ax+b$

pentru coeficienți a și b din K. Curba trebuie să fie nesingulară, adică să nu aibă puncte de întoarcere sau auto-intersecții. (echivalent cu condiția $4a^{3}+27b^{2}\neq 0$) Se înțelege întotdeauna că curba se află în planul proiectiv, punctul O fiind unicul punctul de la infinit. Multe lucrări surse definesc curba eliptică drept pur și simplu o curbă dată de o ecuație de această formă. (Când corpul coeficienților are caracteristica 2 sau 3, ecuația de mai sus nu este suficient de generală pentru a include toate curbele cubice nesingulare; vezi #Elliptic curves over a general field § Notes mai jos. )

O curbă eliptică este o varietate abeliană — adică are o lege de grup definită algebric, în raport cu care este un grup abelian — și O servește drept element identitate.

Dacă y² = P(x), unde P este orice polinom de grad trei în x cu rădăcini distincte, mulțimea soluțiilor este o curbă plană nesingulară de gen unu, o curbă eliptică. Dacă P are gradul patru și este fără pătrate, această ecuație descrie din nou o curbă plană de gen unu; cu toate acestea, nu are o alegere naturală a elementului identitate. Mai general, orice curbă algebrică de gen unu, de exemplu intersecția a două suprafețe cuadrice încorporate în spațiul proiectiv tridimensional, se numește curbă eliptică, cu condiția să fie echipată cu un punct marcat care să funcționeze drept element identitate.

Folosind teoria funcțiilor eliptice, se poate arăta că curbele eliptice definite peste numerele complexe corespund încastrărilor torului în planul proiectiv complex. Torul este și el un grup abelian, iar această corespondență este și izomorfism de grup.

Curbele eliptice sunt deosebit de importante în teoria numerelor și constituie actualmente un domeniu major de cercetare; de exemplu, au fost folosite în demonstrarea de către Andrew Wiles a ultimei teoreme a lui Fermat. Ele își găsesc aplicații și în criptografia cu curbe eliptice (ECC) și la factorizarea numerelor întregi.

O curbă eliptică nu este o elipsă: vezi integrala eliptică pentru originea termenului. Topologic, o curbă eliptică complexă este un tor, în timp ce o elipsă complexă este o sferă.

Curbele eliptice peste numerele reale

Graficele curbelor y² = x³−x și y² = x³−x+1

Deși definiția formală a unei curbe eliptice necesită un anumit fundament în geometria algebrică, unele caracteristici ale curbelor eliptice se pot descrie peste numerele reale folosind doar algebră și geometrie la nivel introductiv.

În acest context, o curbă eliptică este o curbă plană definită de o ecuație de forma

$y^{2}=x^{3}+ax+b$

după o schimbare liniară de variabile (a și b sunt numere reale). Acest tip de ecuație se numește ecuație Weierstrass.

Definiția curbelor eliptice necesită și ca această curba să fie nesingulară. Geometric, aceasta înseamnă că graficul nu are puncte de întoarcere, intersecții cu ea însăși sau puncte izolate. Algebric, acest lucru este valabil dacă și numai dacă discriminantul

$\Delta =-16(4a^{3}+27b^{2})$

este diferit de zero. (Deși factorul −16 este irelevant pentru a determina dacă curba este sau nu nesingulară, această definiție a discriminantului este utilă într-un studiu mai avansat al curbelor eliptice.)

Graficul (real) al unei curbe nesingulare are două componente dacă discriminantul său este pozitiv și o singură componentă dacă este negativ. De exemplu, în graficele prezentate în figura din dreapta, discriminantul în primul caz este 64, iar în al doilea caz este −368.

Legea de grup

Când lucrăm în planul proiectiv, putem defini o structură de grup pe orice curbă cubică nesingulară. În forma normală Weierstrass, o astfel de curbă va avea un punct suplimentar la infinit, O, la coordonatele omogene [0:1:0], care servește drept element identitate al grupului.

Deoarece curba este simetrică față de axa x, dat fiind orice punct P, se poate lua −P drept punct opus. −O va fi chiar O.

Dacă P și Q sunt două puncte pe curbă, atunci putem descrie în mod unic un al treilea punct, P + Q, în felul următor. Mai întâi, se trasează linia care intersectează P și Q. Ea lucru va intersecta cubica într-un al treilea punct, R. Luăm apoi P + Q drept −R, punctul opus lui R.

Această definiție pentru adunare funcționează cu excepția câtorva cazuri speciale legate de punctul la infinit și de multiplicitatea intersecției. Primul este când unul dintre puncte este O. Aici, definim P + O = P = O + P, făcând din O element identitate al grupului. Apoi, dacă P și Q sunt opuse unul față de celălalt, definim P + Q = O. În cele din urmă, dacă P = Q, atunci avem doar un punct, deci nu putem defini dreapta dintre ele. În acest caz, se folosește tangenta la curbă în acest punct drept dreapta noastră. În majoritatea cazurilor, tangenta va intersecta un al doilea punct R și i se va putea lua opusul. Cu toate acestea, dacă P se întâmplă să fie un punct de inflexiune (un punct în care se modifică concavitatea curbei), luăm R drept P însuși și P + P este pur și simplu punctul opus.

Pentru o curbă cubică care nu este în forma normală Weierstrass, se poate totuși defini o structură de grup prin desemnarea unuia dintre cele nouă puncte de inflexiune drept elementul identitate O. În planul proiectiv, fiecare linie va intersecta un cub în trei puncte atunci când se ține cont de multiplicitate. Pentru un punct P, −P este definit ca al treilea punct unic pe dreapta care trece prin O și P. Apoi, pentru orice P și Q, P + Q este definit ca −R unde R este al treilea punct unic pe linia care conține P și Q.

Fie K un corp peste care este definită curba (adică, coeficienții ecuației sau ecuațiilor de definiție a curbei sunt în K) și notăm curba cu E. Atunci punctele K-raționale ale lui E sunt punctele de pe E ale căror coordonate se află în K, inclusiv punctul de la infinit. Mulțimea punctelor raționale K se notează cu E(K). Și ea formează un grup, deoarece proprietățile ecuațiilor polinomiale arată că dacă P este în E(K), atunci −P este și el în E(K) și dacă două dintre P, Q și R sunt în E(K), atunci și al treilea este. În plus, dacă K este un subcorp al lui L, atunci E(K) este un subgrup al lui E(L).

Grupul de mai sus poate fi descris atât algebric cât și geometric. Dată fiind curba y² = x³ + ax + b peste corpul K (a cărui caracteristică presupunem că nu este nici 2, nici 3) și punctele P = (x_P, y_P) și Q = (x_Q, y_Q) pe curbă, presupunem mai întâi că x_P ≠ x_Q (primul panou de mai jos). Fie y = sx + d dreapta care intersectează P și Q, care are următoarea pantă:

$s={\frac {y_{P}-y_{Q}}{x_{P}-x_{Q}}}$

Deoarece K este un corp, s este bine definită. Ecuația dreptei și ecuația curbei au un y identic în punctele x_P, x_{Q și} x_R.

$(sx+d)^{2}=x^{3}+ax+b$

ceea ce e echivalent cu $0=x^{3}-s^{2}x^{2}-2sdx+ax+b-d^{2}$. Știm că această ecuație își are rădăcinile în exact aceleași valori x ca și

$(x-x_{P})(x-x_{Q})(x-x_{R})=x^{3}+x^{2}(-x_{P}-x_{Q}-x_{R})+x(x_{P}x_{Q}+x_{P}x_{R}+x_{Q}x_{R})-x_{P}x_{Q}x_{R}$

Echivalăm coeficienții pentru x² și rezolvăm pentru x_R. y_R rezultă din ecuația dreptei. Aceasta definește R = (x_R, y_R) = − (P + Q) cu

${\begin{aligned}x_{R}&=s^{2}-x_{P}-x_{Q}\\y_{R}&=y_{P}+s(x_{R}-x_{P})\end{aligned}}$

Dacă x_P = x_Q, atunci există două opțiuni: dacă y_P = −y_Q (al treilea și al patrulea panou de mai jos), inclusiv cazul în care y_P = y_Q = 0 (al patrulea panou), atunci suma este definită ca 0; astfel, inversul fiecărui punct de pe curbă se găsește reflectându-l față de axa x. Dacă y_P = y_Q ≠ 0, atunci Q = P și R = (x_R, y_R) = −(P + P ) = −2P = −2Q (al doilea panou de mai jos cu P indicat pentru R) este dat de

${\begin{aligned}s&={\frac {3{x_{P}}^{2}+a}{2y_{P}}}\\x_{R}&=s^{2}-2x_{P}\\y_{R}&=y_{P}+s(x_{R}-x_{P})\end{aligned}}$

Curbele eliptice peste numerele complexe

O curbă eliptică peste numerele complexe este obținută ca un coeficient al planului complex printr-o rețea Λ, aici cuprinsă de două perioade fundamentale ω₁ și ω₂ . Este figurată și patru-torsiunea, corespunzătoare rețelei 1/4 Λ conținând Λ.

Formularea curbelor eliptice ca încorporarea unui tor în planul proiectiv complex rezultă în mod natural dintr-o curioasă proprietate a funcțiilor eliptice ale lui Weierstrass. Aceste funcții și prima lor derivată sunt legate prin formula

$\wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}$

Aici, g₂ și g₃ sunt constante; $\wp (z)$ este funcția eliptică Weierstrass și $\wp '(z)$ derivata sa. Devine evident că această relație este sub forma unei curbe eliptice (peste numerele complexe). Funcțiile Weierstrass sunt dublu periodice; adică sunt periodice față de o rețea Λ; în esență, funcțiile Weierstrass sunt definite în mod natural pe un tor T = C/Λ. Acest tor poate fi încorporat în planul proiectiv complex prin intermediul aplicației

$z\mapsto [1:\wp (z):\wp '(z)/2]$

Această aplicație este un izomorfism de grup al torului (considerat cu structura sa naturală de grup) cu legea grupului de corzi și tangente pe curba cubică care este imaginea acestei aplicații. Este, de asemenea, un izomorfism de suprafețe Riemann definit pe tor cu valori pe curba cubică, deci, topologic, o curbă eliptică este un tor. Dacă rețeaua Λ este legată prin multiplicare cu un număr complex nenul c de o rețea cΛ, atunci curbele corespunzătoare sunt izomorfe. Clasele de izomorfism ale curbelor eliptice sunt specificate de j-invariant.

Clasele de izomorfism pot fi înțelese și într-un mod mai simplu. Constantele g₂ și g₃, numite invarianți modulari, sunt determinate în mod unic de rețea, adică de structura torului. Cu toate acestea, toate polinoamele reale se factorizează complet în factori liniari peste numerele complexe, deoarece corpul numerelor complexe este închiderea algebrică a numerelor reale. Deci, curba eliptică poate fi scrisă ca

$y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )$

Se găsește că

$g_{2}={\frac {\sqrt[{3}]{4}}{3}}(\lambda ^{2}-\lambda +1)$

și

$g_{3}={\frac {1}{27}}(\lambda +1)(2\lambda ^{2}-5\lambda +2)$

astfel încât discriminantul modular este

$\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=\lambda ^{2}(\lambda -1)^{2}$

Aici, λ este uneori numită funcția lambda modulară .

Se observă că teorema de uniformizare implică faptul că orice suprafață compactă Riemann de gen unu poate fi reprezentată ca un tor.

Acest lucru permite, de asemenea, o înțelegere ușoară a punctelor de torsiune pe o curbă eliptică: dacă rețeaua Λ este cuprinsă de perioadele fundamentale ω₁ și ω₂, atunci punctele de n-torsiune sunt (clase de echivalență ale) punctelor de forma

${\frac {a}{n}}\omega _{1}+{\frac {b}{n}}\omega _{2}$

pentru a și b numere întregi cuprinse între 0 și n−1.

Dacă $E:y^{2}=4(x-e_{1})(x-e_{2})(x-e_{3})$ este o curbă eliptică peste numerele complexe și $a_{0}={\sqrt {e_{1}-e_{3}}}$, $b_{0}={\sqrt {e_{1}-e_{2}}}$ și $c_{0}={\sqrt {e_{2}-e_{3}}}$, apoi o pereche de perioade fundamentale ale lui $E$ poate fi calculată foarte rapid prin $\omega _{1}=\pi /\operatorname {M} (a_{0},b_{0})$ și $\omega _{2}=\pi /\operatorname {M} (c_{0},ib_{0})$ Unde $\operatorname {M} (w,z)$ este media aritmetic-geometrică a lui $w$ și $z$. La fiecare pas al iterației medii aritmetic-geometrice, semnele lui $z_{n}$ care rezultă din ambiguitatea iterațiilor geometrice medii sunt alese astfel încât $|w_{n}-z_{n}|\leq |w_{n}+z_{n}|$ Unde cu $w_{n}$ și $z_{n}$ se notează iterațiile individuale ale mediei aritmetice și geometrice ale lui $w$ și, respectiv, $z$. Când $|w_{n}-z_{n}|=|w_{n}+z_{n}|$, există o condiție suplimentară ca $\Im (z_{n}/w_{n})>0$.

Peste numerele complexe, fiecare curbă eliptică are nouă puncte de inflexiune. Fiecare dreaptă ce unește două dintre aceste puncte trece, de asemenea, printr-un al treilea punct de inflexiune; cele nouă puncte și cele 12 drepte formate în acest mod formează o realizare a configurației Hesse.

Curbele eliptice peste un corp general

Curbele eliptice pot fi definite peste orice corp K; definiția formală a unei curbe eliptice este o curbă algebrică proiectivă nesingulară peste K de gen 1 și dotată cu un punct distinct definit peste K.

Dacă caracteristica lui K nu este nici 2, nici 3, atunci orice curbă eliptică peste K poate fi scrisă sub forma

$y^{2}=x^{3}-px-q$

după o schimbare liniară de variabilă. Aici p și q sunt elemente ale lui K astfel încât polinomul din dreapta x³ − px − q să nu aibă rădăcini duble. Dacă caracteristica este 2 sau 3, atunci trebuie păstrați mai mulți termeni: în caracteristica 3, ecuația cea mai generală este de forma

$y^{2}=4x^{3}+b_{2}x^{2}+2b_{4}x+b_{6}$

pentru b₂, b₄ și b₆ constante arbitrare astfel încât polinomul din partea dreaptă are rădăcini distincte (notația este aleasă din motive istorice). În caracteristica 2, nici măcar acest lucru nu este posibil, iar cea mai generală ecuație este

$y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}$

cu condiția ca varietatea pe care o definește să fie nesingulară. Dacă caracteristica nu ar fi o obstrucție, fiecare ecuație s-ar reduce la cele anterioare printr-o schimbare liniară adecvată de variabile.

De obicei, curba este mulțimea tuturor punctelor (x, y) care satisfac ecuația de mai sus și astfel încât atât x cât și y sunt elemente ale închiderii algebrice a lui K. Punctele curbei ale căror coordonate aparțin ambele lui K se numesc puncte K-raționale.

Izogenie

Fie E și D curbe eliptice peste un corp K. O izogenie între E și D este un morfism finit f : E→ D de varietăți care conservă punctele de bază (cu alte cuvinte, mapează punctul dat de pe E la cel de pe D).

Cele două curbe sunt numite izogene dacă există o izogenie între ele. Aceasta este o relație de echivalență, simetria fiind datorată existenței izogeniei duale. Orice izogenie este un omomorfism algebric și astfel induce omomorfisme ale grupurilor curbelor eliptice pentru K-valuate.

Curbe eliptice peste corpuri finite

Mulțime de puncte afine ale curbei eliptice y² = x³ − x peste corpul finit F₆₁.

Fie K = F_q corpul finit cu q elemente și E o curbă eliptică definită peste K. Numărul precis de puncte raționale ale unei curbe eliptice E peste K este în general destul de dificil de calculat, dar teorema lui Hasse despre curbele eliptice oferă, inclusiv pentru punctul de la infinit, următoarea estimare:

$|\#E(K)-(q+1)|\leq 2{\sqrt {q}}$

Cu alte cuvinte, numărul de puncte ale curbei crește aproximativ ca numărul de elemente din corp. Acest fapt poate fi înțeles și demonstrat cu ajutorul unei teorii generale.

Mulțime de puncte afine ale curbei eliptice y² = x³ − x peste corpul finit F₈₉.

Mulțimea punctelor E(F_q) este un grup abelian finit. El este întotdeauna ciclic sau produsul a două grupuri ciclice.  De exemplu, curba definită de

$y^{2}=x^{3}-x$

peste F₇₁ are 72 de puncte (71 de puncte afine, inclusiv (0,0) și un punct la infinit) peste acest câmp, a cărui structură de grup este dată de Z/2Z × Z/36Z. Numărul de puncte pe o curbă specifică poate fi calculat cu algoritmul lui Schoof.

Studiul curbei peste extensiile de corp ale lui F_q este facilitat de introducerea funcției zeta locale a lui E peste F_q, definită de o serie generatoare:

$Z(E(K),T)\equiv \exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }\#\left[E(K_{n})\right]{T^{n} \over n}\right)$

unde corpul K_n este extensia (unică până la izomorfism) a lui K = F_q de grad n (adică F_qⁿ). Funcția zeta este o funcție rațională în T. Există un număr întreg a, astfel încât

$Z(E(K),T)={\frac {1-aT+qT^{2}}{(1-qT)(1-T)}}$

În plus,

${\begin{aligned}Z\left(E(K),{\frac {1}{qT}}\right)&=Z(E(K),T)\\\left(1-aT+qT^{2}\right)&=(1-\alpha T)(1-\beta T)\end{aligned}}$

cu numere complexe α, β de valoare absolută ${\sqrt {q}}$ . Acest rezultat este un caz special al conjecturilor Weil. De exemplu, funcția zeta a lui E : y² + y = x³ peste corpul F₂ este dată de

${\frac {1+2T^{2}}{(1-T)(1-2T)}}$

aceasta rezultă din:

$\left|E(\mathbf {F} _{2^{r}})\right|={\begin{cases}2^{r}+1&r{\text{ impar}}\\2^{r}+1-2(-2)^{\frac {r}{2}}&r{\text{ par}}\end{cases}}$

Mulțimea punctelor afine ale curbei eliptice y² = x³ −x peste corpul finit F₇₁.

Conjectura Sato-Tate este o afirmație despre modul în care termenul de eroare $2{\sqrt {q}}$ din teorema lui Hasse variază de la un număr prim q la altul, dacă o curbă eliptică E peste Q este redusă modulo q. A fost demonstrată (pentru aproape toate aceste curbe) în 2006, datorită rezultatelor lui Taylor, Harris și Shepherd-Barron, și afirmă că termenii de eroare sunt echidistribuiți.

Curbele eliptice peste corpurile finite au aplicații în special în criptografie și pentru factorizarea numerelor întregi mari. Acești algoritmi folosesc adesea structura de grup pe punctele lui E. Algoritmii care se aplică grupurilor generale, de exemplu grupul de elemente inversabile în corpuri finite, F^*_q, pot fi astfel aplicate grupului de puncte de pe o curbă eliptică. De exemplu, logaritmul discret este un astfel de algoritm. Interesul în aceasta este că alegerea unei curbe eliptice permite mai multă flexibilitate decât alegerea lui q (și, astfel, a grupului de unități din F_q). De asemenea, structura de grup a curbelor eliptice este în general mai complicată.

Algoritmi care utilizează curbe eliptice

Curbele eliptice peste corpuri finite sunt utilizate în unele aplicații criptografice, precum și pentru factorizarea numerelor întregi. De obicei, ideea generală din aceste aplicații este că un algoritm cunoscut care folosește anumite grupuri finite este rescris pentru a utiliza grupurile de puncte raționale ale curbelor eliptice.

Bibliografie

Serge Lang, în introducerea cărții citate mai jos, a declarat că „este posibil să scriem la nesfârșit despre curbele eliptice. (Aceasta nu este o amenințare. )” Următoarea listă scurtă este, în cel mai bun caz, un ghid pentru vasta literatură expozitivă disponibilă cu privire la aspectele teoretice, algoritmice și criptografice ale curbelor eliptice.

• I. Blake; G. Seroussi; N. Smart (2000). Elliptic Curves in Cryptography. LMS Lecture Notes. Cambridge University Press. ISBN 0-521-65374-6. 
• Richard Crandall; Carl Pomerance (2001). „Chapter 7: Elliptic Curve Arithmetic”. Prime Numbers: A Computational Perspective (ed. 1st). Springer-Verlag. pp. 285–352. ISBN 0-387-94777-9. 
• Cremona, John (1997). Algorithms for Modular Elliptic Curves (ed. 2nd). Cambridge University Press. ISBN 0-521-59820-6. 
• Darrel Hankerson, Alfred Menezes and Scott Vanstone (2004). Guide to Elliptic Curve Cryptography. Springer. ISBN 0-387-95273-X. 
•   Chapter XXV
• Hellegouarch, Yves (2001). Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles. Paris: Dunod. ISBN 978-2-10-005508-1. 
• Husemöller, Dale (2004). Elliptic Curves. Graduate Texts in Mathematics. 111 (ed. 2nd). Springer. ISBN 0-387-95490-2. 
• Kenneth Ireland; Michael I. Rosen (1998). „Chapters 18 and 19”. A Classical Introduction to Modern Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. 84 (ed. 2nd revised). Springer. ISBN 0-387-97329-X. 
• Knapp, Anthony W. (2018) [1992]. Elliptic Curves. Mathematical Notes. 40. Princeton University Press. ISBN 9780691186900. 
• Koblitz, Neal (1993). Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. Graduate Texts in Mathematics. 97 (ed. 2nd). Springer-Verlag. ISBN 0-387-97966-2. 
• Koblitz, Neal (1994). „Chapter 6”. A Course in Number Theory and Cryptography. Graduate Texts in Mathematics. 114 (ed. 2nd). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94293-9. 
• Serge Lang (1978). Elliptic curves: Diophantine analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 231. Springer-Verlag. ISBN 3-540-08489-4. 
• Henry McKean; Victor Moll (1999). Elliptic curves: function theory, geometry and arithmetic. Cambridge University Press. ISBN 0-521-65817-9. 
• Ivan Niven; Herbert S. Zuckerman; Hugh Montgomery (1991). „Section 5.7”. An introduction to the theory of numbers (ed. 5th). John Wiley. ISBN 0-471-54600-3. 
• Silverman, Joseph H. (1986). The Arithmetic of Elliptic Curves. Graduate Texts in Mathematics. 106. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96203-4. 
• Joseph H. Silverman (1994). Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves. Graduate Texts in Mathematics. 151. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94328-5. 
• Joseph H. Silverman; John Tate (1992). Rational Points on Elliptic Curves. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97825-9. 
• John Tate (1974). „The arithmetic of elliptic curves”. Inventiones Mathematicae. 23 (3–4): 179–206. Bibcode:1974InMat..23..179T. doi:10.1007/BF01389745. 
• Lawrence Washington (2003). Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography. Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-365-0. 

Legături externe

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), „Elliptic curve”, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
• The Mathematical Atlas: 14H52 Elliptic Curves
• Eric W. Weisstein, Elliptic Curves la MathWorld.
• The Arithmetic of elliptic curves de la PlanetMath
• Brown, Ezra (2000), „Three Fermat Trails to Elliptic Curves”, The College Mathematics Journal, 31 (3), pp. 162–172, doi:10.1080/07468342.2000.11974137 
• Cod Matlab pentru trasarea funcțiilor implicite – se poate utiliza pentru a trasa curbe eliptice.
• Introducere interactivă în curbele eliptice și în criptografia cu curbe eliptice cu Sage de Maike Massierer și echipa CrypTool
• Curbă eliptică interactivă peste R și peste Zp – aplicații web.
• Amplă bază de date de curbe eliptice peste Q