Patrulater inscriptibil

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare
Exemple de patrulatere înscriptibile

În geometria euclidiană un patrulater inscriptibil[1][2][3] sau patrulater înscris[4] este un patrulater ale cărui vârfuri se află toate pe un singur cerc.[4] Acest cerc se numește cerc circumscris. De obicei se presupune că patrulaterul este convex, dar există și patrulatere inscriptibile autointersectate. Formulele și proprietățile prezentate mai jos sunt valabile în cazul convex.

Toate triunghiurile au un cerc circumscris, dar nu toate patrulaterele au unul. Un exemplu de patrulater care nu este inscriptibil este un romb care nu este și pătrat.

Cazuri particulare[modificare | modificare sursă]

Orice pătrat, dreptunghi, trapez isoscel sau antiparalelogram este inscriptibil. Un romboid este inscriptibil dacă și numai dacă are două unghiuri drepte. Un Patrulater bicentric este un patrulater inscriptibil, fiind atât circumscriptibil, cât și exscriptibil. Un patrulater armonic este un patrulater inscriptibil în care produsele lungimilor laturilor opuse sunt egale.

Caracteristici[modificare | modificare sursă]

Un patrulater inscriptibil ABCD

Centrul cercului circumscris[modificare | modificare sursă]

Un patrulater convex este inscriptibil dacă și numai dacă cele patru mediatoare ale laturilor sunt concurente. Acest punct comun este centrul cercului circumscris.[5]

Unghiuri suplementare[modificare | modificare sursă]

Un patrulater convex ABCD este inscriptibil dacă și numai dacă unghiurile sale opuse sunt suplementare, adică[5][6]

Teorema directă a fost Propoziția 22 din Cartea a 3-a din Elementele lui Euclid.[7] Echivalent, un patrulater convex este inscriptibil dacă și numai dacă fiecare unghi exterior este egal cu unghiul interior opus.

În 1836 Duncan Gregory a generalizat acest rezultat după cum urmează: pentru orice 2n-gon inscriptibil convex, cele două sume ale unghiurilor interioare alternate sunt fiecare egală cu (n − 1)π.[8] Considerînd proiecția stereografică (tangenta jumătății de unghi) a fiecărui unghi, aceasta poate fi exprimat ca

Ceea ce implică[9]

Unghiuri dintre laturi și diagonale[modificare | modificare sursă]

Un patrulater convex ABCD este inscriptibil dacă și numai dacă un unghi dintre o latură și o diagonală este egal cu unghiul dintre latura opusă și cealaltă diagonală.[10] Adică, de exemplu,

Intersecția diagonalelor[modificare | modificare sursă]

Dacă două drepte, una care conține segmentul AC și cealaltă care conține segmentul BD, se intersectează în P, atunci cele patru puncte A, B, C, D sunt pe acelați cerc dacă și numai dacă[11]

Intersecția P poate fi internă sau externă cercului. În primul caz, patrulaterul inscriptibil este ABCD, iar în al doilea caz patrulaterul inscriptibil este ABDC. Când intersecția este internă, egalitatea afirmă că produsul lungimii segmentelor în care P împarte o diagonală este egal cu cel al celeilalte diagonale. Aceasta este cunoscută sub denumirea de teorema coardelor concurente, deoarece diagonalele patrulaterului inscriptibil sunt coarde ale cercului circumscris.

Teorema Ptolemeu[modificare | modificare sursă]

Teorema lui Ptolemeu exprimă produsul lungimilor celor două diagonale e și f ale unui patrulater inscriptibil ca sumă a produselor laturilor opuse:[12]:p.25[6]

unde a, b, c, d sunt lungimile laturilor, în ordine. Inversa acestei teoreme este și ea adevărată. Adică, dacă această ecuație este îndeplinită într-un patrulater convex, atunci patrulaterul este inscriptibil.

Aria[modificare | modificare sursă]

Aria K a unui patrulater inscriptibil cu laturile a, b, c, d este dată de formula lui Brahmagupta[12]:p.24

unde s este semiperimetrul: . Acesta este un corolar al formulei lui Bretschneider pentru patrulaterul general, deoarece în cazul patrulaterului inscriptibil unghiurile opuse sunt suplementare. Iar dacă d = 0, patrulaterul inscriptibil devine un triunghi iar formula se reduce la formula lui Heron.

Aria unui patrulater inscriptibil având unghiul B între laturile a și b se poate calcula cu[12]:p.25

Diagonale[modificare | modificare sursă]

Într-un patrulater inscriptibil lungimea diagonalelor e și f se poate exprima în funcție de lungimile laturilor[12]:p.25,[13][14]:p. 84

  și  

ceea ce duce la teorema lui Ptolemeu (.)

Conform celei a doua teoreme a lui Ptolemeu,[12]:p.25,[13]

Formule pentru unghiuri[modificare | modificare sursă]

Pentru un patrulater inscriptibil având unghiul A între laturile a și d, valorile funcțiilor trigonometrice pentru A se obțin din[15]

Unghiul θ dintre diagonale satisface relația[12]:p.26

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ inscriptibil” la DEX online
  2. ^ Dorin Andrica, UBB Cluj-Napoca, Syllabus masterat matematică, ubbcluj.ro, 9 noiembrie 2011, accesat 2021-12-03
  3. ^ Oana Adriana Constandache, Tema 10: patrulatere inscriptibile, puterea punctului fata de cerc, tangente la cerc, uaic.ro, accesat 2021-12-04
  4. ^ a b înscris” la DEX online
  5. ^ a b en Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer; Witonsky, David; Willmore, Edwin (), „10. Cyclic quadrilaterals”, The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition, Research in mathematics education, IAP, pp. 63–65, ISBN 978-1-59311-695-8 
  6. ^ a b en Fraivert, David; Sigler, Avi; Stupel, Moshe (), „Necessary and sufficient properties for a cyclic quadrilateral”, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 51 (6): 913–938, doi:10.1080/0020739X.2019.1683772 
  7. ^ en Joyce, D. E. (iunie 1997), „Book 3, Proposition 22”, Euclid's Elements, Clark University 
  8. ^ en Gregory, Duncan (), „Geometrical Theorem”, Cambridge Mathematical Journal, 1: 92 .
  9. ^ en Hajja, Mowaffaq (), „A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic” (PDF), Forum Geometricorum, 8: 103–6 
  10. ^ en Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (), „2.3 Cyclic quads”, Mathematical Olympiad Treasures, Springer, pp. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8, MR 2025063 
  11. ^ en Bradley, Christopher J. (), The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-Ordinates, Highperception, p. 179, ISBN 978-1906338008, OCLC 213434422 
  12. ^ a b c d e f en Durell, C. V.; Robson, A. () [1930], Advanced Trigonometry, Courier Dover, ISBN 978-0-486-43229-8 
  13. ^ a b en Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (), „On the diagonals of a cyclic quadrilateral” (PDF), Forum Geometricorum, 7: 147–9 
  14. ^ en Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
  15. ^ en Siddons, A. W.; Hughes, R. T. (), Trigonometry, Cambridge University Press, p. 202, OCLC 429528983 


Lectură suplimentară[modificare | modificare sursă]

legături externe[modificare | modificare sursă]