Momentul forței

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
(Redirecționat de la Momentul forţei)
Salt la: Navigare, căutare
Relaţia dintre forţă (F) şi momentul forţei (τ) în cazul unui corp în rotaţie

Momentul forței este o mărime fizică vectorială ce exprimă cantitativ capacitatea forţei de a roti un rigid in jurul unei drepte ce trece printr-un punct şi este perpendiculara pe planul format de dreapta suport a forţei şi punctul respectiv. Este important în funcționarea unor aparate de zbor ca de exemplu elicopterul.

Momentul unei forțe în raport cu un punct[modificare | modificare sursă]

Momentul unei forţe în raport cu un punct

Momentul forței  \vec F , care acţionează asupra unuisolid rigid ,în raport cu punctul O, numit pol, este o mărime vectorială notată cu  \vec M_0 (\vec F) sau mai simplu notată cu  \vec M_0 şi reprezintă produsul vectorial dintre vectorul de poziție care unește punctul O cu un punct oarecare de pe suportul forței și forță:

 \vec M_0 = \vec r \times \vec F = r \cdot F \cdot sin(t) \cdot \vec u= F \cdot d \cdot \vec u
unde:
 t este unghiul dintre  \vec r şi  \vec F
 d=r \cdot sin(t) şi este braţul forţei F faţa de punctul O , care reprezintă distanţa de la punctul O până la dreapta suport a forţei F , adica lungimea perpendicularei dusă din punctul O pe dreapta suport a forţei F.

Momentul unei forţe  \vec F în raport cu un punct O se exprimă analitic în raport cu sistemul de referinţă cartezian triortogonal drept OXZY prin relaţia:

 \vec M_o(\vec F) = \vec r \times \vec F = \begin{bmatrix} \vec i& \vec j & \vec k\\x&y&z\\X&Y&Z \end{bmatrix}=(y \cdot Z-z\cdot Y)\cdot \vec i + (z \cdot X -x \cdot Z) \cdot \vec j+ (x\cdot Y-y \cdot X) \cdot \vec k

 \vec M_o (\vec F)= M_x \cdot \vec i + M_g \cdot \vec j + M_z \cdot \vec k

unde:  M_x=y \cdot Z+z \cdot Y

 M_y=z \cdot X-x\cdot Z sunt proiecţiile momentului forţei F in raport cu punctul O pe axele Ox , Oz si Oz

 M_z=x\cdot Y-y\cdot X

Caracteristicile vectorului moment:

  • punctul de aplicaţie este în O , ceea ce inseamna ca vectorul moment este un vector legat;
  • direcția este normală pe planul format de O și suportul forței;
  • sensul este corespunzător triedrului drept;
  • mărimea (modulul) acestuia este:
 |  \vec M_0 |  = | \vec F | \cdot d,

unde d = OB se numește brațul forței și reprezinta lungimea perpendicularei dusa din O pe dreapta suport a forței.

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

  • Momentul unei forţe în raport cu un punct arbitrar de pe dreapta suport a forţei este întotdeauna nul.
 \vec M_A(\vec F) = \vec {AB} \times \vec F =0 ,deoarece  \vec {AB} si  \vec F sunt coliniari.
  • Momentul unei forţe în raport cu un punct care nu aparţine dreptei suport al forţei este intotdeauna constant la alunecarea forţei pe dreapta sa suport.

Demonstraţie:[modificare | modificare sursă]

 \vec M_o(\vec F)=  \vec {OA} \times \vec F= ( \vec {OB} +\vec {BA}) \times \vec F =\vec {OB} \times \vec F+\vec {BA} \times \vec F= \vec {OB} \times \vec F

deoarece BA si F sunt vectori coliniari.

  • Punctul O se deplasează pe o dreaptă paralelă cu (Δ).
  • Momentul unei forțe se schimbă dacă se schimbă polul din O în O1:
 \vec M_{01} = \vec {O_1 A} \times \vec F = (\vec {O_1 O} + \vec {OA}  ) \times \vec F = \vec M_0 + \vec {O_1 O} \times F .
iar  \vec M_{o1}(\vec F) = \vec M_o (\vec F) +\vec {O_1O} \times \vec F este legea de variaţie a momentului unei forţe la schimbarea punctului in raport cu care este calculat.
Momentul unei forţe în raport cu o axă

Momentul unei forțe în raport cu o axă[modificare | modificare sursă]

Componentele forţei

Momentul unei forțe în raport cu o axă, de versor  \vec u , este proiecția pe acea axă a momentului forței calculat în raport cu un punct oarecare al axei respective:

 M_{\Delta} = \vec M_0 \cdot \vec u = (\vec r \times \vec F) \cdot \vec u.

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

  •  M_{\Delta} =0 dacă cei trei vectori sunt coplanari: forța este paralelă cu axa Δ sau suportul forței intersectează axa.
  •  M_{\Delta} =0 nu depinde de alegerea punctului O pe axa Δ:

Astfel, dacă se consideră un alt punct O1:

 M'_{\Delta} = (\vec {O_1A} \times \vec F) \cdot \vec u = [(\vec {O_1 O} + \vec r ) \times \vec F]  \cdot \vec u = M_{\Delta}.
  • Momentul unei forțe în raport cu o axă Δ este egal cu mărime momentului produs de componenta forței dintr-un plan normal pe axă, calculat în raport cu punctul în care axa Δ intersectează planul normal:
 M_{\Delta} =  ( \vec {OA} \times \vec F) \cdot \vec u = [ \vec {OA} \times (\vec F_{\perp} + \vec F_{\| })] \cdot u = (\vec {OA} \times \vec F_{\perp}) \cdot \vec u = \pm | \vec r \times \vec F_{\perp} |.

Terminologie[modificare | modificare sursă]

  • Momentul forței este tradițional notat de fizicienii români cu MF, spre deosebire de fizicienii anglofoni, care îl notează cu litera greacă tau (τ).
  • Inginerii români numesc momentul forței, în unele contexte, cuplu.

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Mercheș, Ioan și Burlacu, Lucian: Mecanică analitică și a mediilor deformabile, Editura didactică și pedagogică, București, 1983.