Micul dodecicosaedru

Descriere
Micul dodecicosaedru

(model 3D)
Tip	poliedru uniform neconvex
Fețe	32 (20 hexagoane, 12 decagoane)
Laturi (muchii)	120
Vârfuri	60
χ	−28
Configurația vârfului	6.10.6/5.10/9^[1]
Simbol Wythoff	3 5 (3/2 5/4) \|^[2]
Diagramă Coxeter	(acoperire dublă triunghiuri) (acoperire dublă pentagrame)
Grup de simetrie	I_h, [5,3], (*532) ^[1]
Volum	≈2,240 $a$ ³ ( $a$ = latura)
Poliedru dual	micul dodecicosacron
Proprietăți	uniform, neconvex
Figura vârfului

În geometrie micul dodecicosaedru este un poliedru uniform neconvex, cu indicele U₅₀. Are 32 de fețe (20 hexagoane și 12 decagoane), 120 de laturi și 60 de vârfuri.^[1] Având 32 de fețe este un icosidodecaedru. Un poliedru neconvex are fețe care se intersectează care nu reprezintă laturi sau fețe noi. Doar cele marcate cu sfere aurii sunt vârfuri, iar cele cu linii argintii sunt laturi.

Figura vârfului este un antiparalelogram. Are simbolul Wythoff 3 5 (3/2 5/4) |.^[2]

Mărimi asociate[modificare | modificare sursă]

Coordonate carteziene[modificare | modificare sursă]

Având în comun vârfurile cu marele dodecaedru trunchiat stelat, coordonatele carteziene ale vârfurilor unui mic dodecicosaedru cu lungimea laturii 2, centrat în origine,^[3]^[4] sunt toate permutările pare ale:

\left(\,0,\,\pm 1,\,\pm (3\varphi -4)\,\right)

\left(\,\pm 1,\,\pm (2-\varphi ),\,\pm (2-\varphi )\,\right)

\left(\,\pm (2-\varphi ),\,\pm 2(\varphi -1)\,\pm (2\varphi -3)\right)

unde $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ este secțiunea de aur.

Raza circumscrisă[modificare | modificare sursă]

Raza circumscrisă în funcție de lungimea laturilor $a$ este:^[5]

R={\frac {1}{4}}{\sqrt {34+6{\sqrt {5}}}}\,a\approx 1,876844\,a.

Volum[modificare | modificare sursă]

Următoarea formulă pentru volum $V$ este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) $a$ este:

V={\frac {1}{4}}\left(34+6{\sqrt {5}}\right)\,a^{3}\approx 1,721489~a^{3}.

Poliedre înrudite[modificare | modificare sursă]

Are în comun aranjamentul vârfurilor cu marele dodecaedru trunchiat stelat. În plus, are în comun aranjamentul laturilor cu micul icosicosidodecaedru (având în comun fețele hexagonale) și cu micul dodecicosidodecaedru ditrigonal (având fețele decagonale în comun).

Marele dodecaedru trunchiat stelat	Micul icosicosidodecaedru	Micul dodecicosidodecaedru ditrigonal	Micul dodecicosaedru

Poliedru dual[modificare | modificare sursă]

Dualul său este micul dodecicosaedru.^[6]

Note[modificare | modificare sursă]

^ ^a ^b ^c en Maeder, Roman. „50: small dodecicosahedron”. MathConsult. Accesat în 14 decembrie 2023.
^ ^a ^b en Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9. p. 9–10.
^ en Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes (third edition), Dover Publications Inc, 1973 ISBN: 0-486-61480-8, p. 52, §3.7 Coordinates for the vertices of the regular and quasi-regular solids
^ en Eric W. Weisstein, Icosahedral group la MathWorld.
^ en Eric W. Weisstein, Small dodecicosahedron la MathWorld.
^ en Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Lista poliedrelor uniforme

Legături externe[modificare | modificare sursă]

en Uniform polyhedra and duals

Portal Matematică

en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”. Cheie: siddy

[mc-1] Maeder, Roman. „50: small dodecicosahedron”. MathConsult. Accesat în 14 decembrie 2023.

[W-2] Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9. p. 9–10.

[3] Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes (third edition), Dover Publications Inc, 1973 ISBN: 0-486-61480-8, p. 52, §3.7 Coordinates for the vertices of the regular and quasi-regular solids

[4] Eric W. Weisstein, Icosahedral group la MathWorld.

[MW-5] Eric W. Weisstein, Small dodecicosahedron la MathWorld.

[6] Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

v d m Poliedre neconvexe
Poliedre Kepler–Poinsot	micul dodecaedru stelat marele dodecaedru marele dodecaedru stelat marele icosaedru
Trunchieri uniforme ale poliedrelor Kepler–Poinsot	dodecadodecaedru marele dodecaedru trunchiat rombidodecadodecaedru dodecadodecaedru trunchiat dodecadodecaedru snub marele icosidodecaedru marele icosaedru trunchiat marele rombicosidodecaedru neconvex marele icosidodecaedru trunchiat
hemipoliedre uniforme neconvexe	tetrahemihexaedru cubohemioctaedru octahemioctaedru micul dodecahemidodecaedru micul icosihemidodecaedru marele dodecahemidodecaedru marele icosihemidodecaedru marele dodecahemicosaedru micul dodecahemicosaedru
Duale ale poliedrelor uniforme neconvexe	triacontaedru rombic medial micul dodecaedru stelapentakis hexacontaedru romboidal medial hexacontaedru pentagonal medial triacontaedru disdiakis medial marele triacontaedru rombic marele dodecaedru stelapentakis marele hexacontaedru romboidal marele triacontaedru disdyakis marele hexacontaedru pentagonal