Sari la conținut

Operator adjunct

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

În matematică, în special în teoria operatorilor⁠(d), fiecare operator liniar peste un spațiu vectorial euclidian definește un operator adjunct peste acel spațiu conform regulii:

Unde este produsul scalar al spațiului vectorial.

Adjunctul mai poate fi numit și conjugat,[1] iar cei care sunt propriul adjunct se numesc hermitici, după Charles Hermite. Adjunctul se notează adesea cu A în domenii precum fizica, mai ales atunci când este utilizat împreună cu notația bra-ket în mecanica cuantică. În dimensiunile finite în care operatorii sunt reprezentați prin matrice, adjunctul este dat de conjugata transpusă.

Definiția de mai sus a unui operator adjunct se extinde verbatim la operatorii liniari mărginiți⁠(d) peste spațiile Hilbert . Definiția a fost extinsă în continuare pentru a include operatori nemărginiți dens definiți⁠(d) al căror domeniu este dens din punct de vedere topologic în — dar nu neapărat egal cu —

Definiție informală[modificare | modificare sursă]

Fie o aplicație liniară între două spații Hilbert. Făcând abstracție de detalii, operatorul adjunct este operatorul liniar (în cele mai multe cazuri definit în mod unic). care îndeplinește condiția

Unde este produsul scalar din spațiul Hilbert , care este liniar în prima coordonată și antiliniar⁠(d) în a doua coordonată. Se observă cazul special în care ambele spații Hilbert sunt identice și este un operator pe acel spațiu Hilbert.

Când se produsul scalar este înlocuit cu împerecherea duală, se poate defini adjunctul, numit și transpusă⁠(d), al unui operator , Unde sunt spatii Banach cu norme corespunzatoare . Aici (din nou, fără a lua în considerare detaliile), operatorul său adjunct este definit ca cu

adica pentru .

Definiția de mai sus în contextul spațiului Hilbert este de fapt doar o aplicație a cazului spațiului Banach atunci când se identifică un spațiu Hilbert cu dualul său. Atunci este firesc să se poată obține și adjunctul unui operator , Unde este un spațiu Hilbert și este un spațiu Banach. Dualul este atunci definit ca cu astfel încât

Definiție pentru operatori nemărginiți între spații Banach[modificare | modificare sursă]

Fie spațiile Banach . Fie și , cu un operator liniar (posibil nemărginit) dens definit⁠(d) (adică, este dens în ). Atunci adjunctul său este definit după cum urmează. Domeniul este

.

Acum, pentru un arbitrar, dar fix, se stabilește cu . Prin alegerea lui și definiția lui , f este (uniform) continuă pe deoarece . Atunci, prin teorema Hahn-Banach⁠(d) sau, alternativ, prin extensie prin continuitate, rezultă o extensie a lui , numită definită pe tot . Această tehnică este necesară pentru a se obține ulterior ca operator în loc de Se observă și că aceasta nu înseamnă că poate fi extinsă pe orice dar extensia funcționează doar pentru anumite elemente .

Acum se poate defini adjunctul lui drept

Identitatea fundamentală definitorie este astfel

pentru

Definiția pentru operatori mărginiți între spații Hilbert[modificare | modificare sursă]

Presupunem că H este un spațiu Hilbert complex, cu produs scalar . Considerăm un operator liniar continuu A : HH (pentru operatorii liniari, continuitatea este echivalentă cu mărginirea⁠(d)). Atunci adjunctul lui A este operatorul liniar continuu A : HH care satisface condiția

Existența și unicitatea acestui operator rezultă din teorema de reprezentare Riesz⁠(d).[2]

Aceasta poate fi văzută ca o generalizare a matricei adjuncte a unei matrice pătrate care are o proprietate similară care implică produsul interior complex standard.

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Următoarele proprietăți ale adjunctului de operatori mărginiți⁠(d) sunt imediate: [2]

  1. Involutivitate : A∗∗ = A
  2. Dacă A este inversabilă, atunci la fel este A, cu
  3. Anti-liniaritate⁠(d) :
  4. Anti-distributivitate”: (AB) = BA

Dacă definim norma operatorului⁠(d) A prin

atunci

[2]

Mai mult,

[2]

Se spune că o normă care satisface această condiție se comportă ca „valoarea cea mai mare”, extrapolând din cazul operatorilor autoadjuncți.

Mulțimea operatorilor liniari mărginiți pe un spațiu Hilbert complex H împreună cu operația adjunctă și norma operatorului formează prototipul unei algebre C*⁠(d) .

Adjunctul de operatori nemărginiți dens definiți între spațiile Hilbert[modificare | modificare sursă]

Definiție[modificare | modificare sursă]

Fie produsul scalar liniar în primul argument. Un operator A dens definit⁠(d) între un spațiu Hilbert complex H și el însuși este un operator liniar al cărui domeniu D(A) este un subspațiu liniar⁠(d) dens al lui H și ale cărui valori se află în H.[3] Prin definiție, domeniul D(A) al adjunctului său A este mulțimea tuturor yH pentru care există un zH care satisface condiția

Datorită densității lui și teoremei de reprezentare Riesz⁠(d), este definit în mod unic și, prin definiție, [4]

Proprietăți 1.–5. rămân valabile cu clauze adecvate despre domenii și codomenii.  De exemplu, ultima proprietate afirmă acum că (AB) este o extensie a lui BA dacă A, B și AB sunt operatori dens definiți.[5]

ker A* = (im A) [modificare | modificare sursă]

Pentru orice funcționala liniară este identic zero și, prin urmare

Reciproc, presupunerea că dacă rezultă că funcționala este identic zero. Deoarece funcționala este în mod evident mărginită, definiția lui asigură că Faptul că, pentru fiecare demonstrează că dat fiind că este dens.

Această proprietate arată că este un subspațiu închis topologic chiar și atunci când nu este.

Interpretare geometrică[modificare | modificare sursă]

Dacă și sunt spații Hilbert, atunci este un spațiu Hilbert cu produsul scalar

Unde și

Fie aplicația simplectică⁠(d), de exemplu Atunci graficul

al lui este complementul ortogonal al lui

Afirmația rezultă din echivalențele

și

Corolare[modificare | modificare sursă]

A* este închis[modificare | modificare sursă]

Un operator este închis dacă graficul este închis topologic în Graficul al operatorului adjunct este complementul ortogonal al unui subspațiu și, prin urmare, este închis.

A* este dens definit ⇔ A este nemărginit[modificare | modificare sursă]

Un operator este nemărginit dacă închiderea topologică a graficului este graficul unei funcții. Întrucât este un subspațiu liniar (închis), cuvântul „funcție” poate fi înlocuit cu „operator liniar”. Pentru același motiv, este nemărginit dacă și numai dacă cu condiția

Adjunctul este dens definit dacă și numai dacă este nemărginit. Aceasta rezultă din faptul că, pentru orice

ceea ce, la rândul său, se demonstrează prin următorul lanț de echivalențe:

A** = Acl[modificare | modificare sursă]

Închiderea a unui operator este operatorul al cărui grafic este dacă acest grafic reprezintă o funcție. Ca mai sus, cuvântul „funcție” poate fi înlocuit cu „operator”. În plus, ceea ce înseamnă că

Pentru a demonstra acest lucru, se observă că adică pentru orice Într-adevăr,

În special, pentru orice și orice subspațiu dacă și numai dacă Prin urmare, și Înlocuind se obține

A* = (Acl)*[modificare | modificare sursă]

Pentru un operator nemărginit ceea ce înseamnă că Într-adevăr,

Contraexemplu în care adjunctul nu este dens definit[modificare | modificare sursă]

Fie unde este măsura liniară. Se alege o funcție măsurabilă, mărginită, neidentic zero și Se definește

Rezultă că Subspațiul conține toate funcțiile cu suport compact. Întrucât este dens definit. Pentru orice și

Prin urmare, Definiția operatorului adjunct necesită ca Întrucât acest lucru este posibil numai dacă Din acest motiv, Prin urmare, nu este dens definit și este identic zero pe Ca urmare, este nemărginit și nu are al doilea adjunct

Operatori hermitici[modificare | modificare sursă]

Un operator mărginit⁠(d) A : HH se numește hermitic sau autoadjunct⁠(d) dacă

care este echivalent cu

[6]

Într-un anumit sens, acești operatori joacă rolul numerelor reale (sunt egali cu propriul lor „conjugat complex”) și formează un spațiu vectorial real. Ei servesc drept model de observabile⁠(d) cu valori reale în mecanica cuantică.

Adjuncții operatorilor antiliniari[modificare | modificare sursă]

Pentru un operator antiliniar⁠(d), definiția adjunctului trebuie ajustată pentru a compensa conjugarea complexă. Un operator adjunct al operatorului antiliniar A pe un spațiu Hilbert complex H este un operator antiliniar A : HH cu proprietatea:

Alți adjuncți[modificare | modificare sursă]

Ecuația

este formal similară cu proprietățile definitorii ale perechilor de functori adjuncți⁠(d) din teoria categoriilor, care de aici și-au luat și numele.

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Miller, David A. B. (). Quantum Mechanics for Scientists and Engineers. Cambridge University Press. pp. 262, 280. 
  2. ^ a b c d Reed & Simon 2003, pp. 186–187. ; Rudin 1991, §12.9.
  3. ^ See Unbounded operator⁠(d) for details.
  4. ^ Reed & Simon 2003, p. 252. ; Rudin 1991, §13.1.
  5. ^ Rudin 1991, Thm 13.2.
  6. ^ Reed & Simon 2003, pp. 187. ; Rudin 1991, §12.11.

Bibliografie[modificare | modificare sursă]