Teorema lui Stewart

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare

În geometrie, Teorema lui Stewart furnizează o relație între lungimile laturilor unui triunghi și lungimea segmentului dintr-un vârf la un punct de pe latura opusă.

Fie a, b și c laturile unui triunghi. Fie p un segment din punctul A în punctul de pe latura a care divide această latură în segmentele x and y. Atunci:

Reprezentare grafică

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Fie P punctul în care latura a și segmentul p se intersectează. Prin aplicarea teoremei cosinusului pentru unghiurile suplementare APB și APC se obțin egalitățile:

Înmulțind prima relație cu x, iar a doua cu y  rezultă:

Apoi adunând cele două ecuații:

șe obține teorema lui Stewart.

Forma vectorială[modificare | modificare sursă]

Dacă M este un punct pe latura BC a triunghiului ABC, atunci:

sau altă formă:

O altă formă simetrică este următoarea:

Dacă punctele A, B, C sunt coliniare, iar P un punct oarecare, atunci:

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]