Teorema lui Stewart

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În geometrie, Teorema lui Stewart furnizează o relație între lungimile laturilor unui triunghi și lungimea segmentului dintr-un vârf la un punct de pe latura opusă.

Fie a, b și c laturile unui triunghi. Fie p un segment din punctul A în puctul de pe latura a care divide această latură în segmentele x and y. Atunci:

 a (p^2 + x y ) = b^2 x + c^2 y. \,
Reprezentare grafică

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Vom numi P punctul în care latura a și segmentul p se intersectează. Începem prin aplicarea legii cosinusurilor pentru unghiurile suplementare APB și APC.

 b^2 = p^2 + y^2 - 2 p y \cos { \theta } \,
 c^2 = p^2 + x^2 + 2 p x \cos { \theta } \,

Înmulțim prima relație cu x, iar a doua cu y :

 x b^2 = x p^2 + x y^2 - 2 p x y \cos { \theta } \,
 y c^2 = y p^2 + y x^2 + 2 p x y \cos { \theta } \,

Acum adunăm cele două ecuații:

 x b^2 + y c^2 = (x+y) p^2 + x y (x + y), \,

și obținem teorema lui Stewart.

Forma vectorială[modificare | modificare sursă]

Dacă M este un punct pe latura BC a triunghiului ABC, atunci:

 \overrightarrow {AM}^2 \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB}^2 \cdot \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CM} \cdot  \overrightarrow {MB}=0

sau altă formă:

 MA^2 = \frac {\overrightarrow {MC}}{\overrightarrow {BC}} \cdot AB^2 + \frac {\overrightarrow {MB}}{\overrightarrow {CB}} \cdot AC^2 + \overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MC}.

O altă formă simetrică este următoarea:

Dacă punctele A, B, C sunt coliniare, iar P un punct oarecare, atunci:

{\frac  {PA^{2}}{\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC}}}+{\frac  {PB^{2}}{\overrightarrow {BA}\cdot \overrightarrow {BC}}}+{\frac  {PC^{2}}{\overrightarrow {CA}\cdot \overrightarrow {CB}}}=1.

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]