Centrul cercului înscris într-un triunghi

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare
Centru cercului înscris într-un triunghi

În geometria triunghiului, centrul cercului înscris într-un triunghi este un punct important al triunghiului. Se află la intersecția bisectoarelor acestuia.

Existența acestuia este remarcată încă din antichitate.

Vectorul de poziție[modificare | modificare sursă]

Vectorul de poziție al centrului I al cercului înscris în triunghiul ABC este dat de:

unde    sunt lungimile laturilor triunghiului.

Demonstrație. Se notează    picioarele bisectoarelor din vârfurile    Conform teoremei bisectoarei:

Rezultă că punctul    împarte segmentul    în raportul    deci:

adică   

Din    rezultă    Dar    deci   

   este bisectoare în triunghiul    deci aplicând teorema bisectoarei:

Rezultă că punctul I împarte segmentul    în raportul    deci

Cum    rezultă că    împarte segmentul    în raportul    deci:

adică:

Înlocuind (2) în (1), se obține formula din enunț.

Coordonatele carteziene[modificare | modificare sursă]

Coordonatele carteziene ale acestui punct sunt:

unde  ,   și    sunt coordonatele vârfului triunghiului.