Mediană

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Jump to navigation Jump to search
Medianele și centrul de greutate al triunghiului.

Mediana unui triunghi este segmentul determinat de un vârf al triunghiului și mijlocul laturii opuse acestuia.

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Concurența medianelor într-un triunghi[modificare | modificare sursă]

Toate cele trei mediane ale unui triunghi se intersectează într-un punct numit centrul de greutate al acestuia. Centrul de greutate se găsește pe fiecare mediană la 1/3 de mijlocul laturii pe care cade mediana și 2/3 de vârful triunghiului din care pleacă mediana. [1]

Împărțirea egală a ariilor[modificare | modificare sursă]

Ca o consecință imediată a proprietății anterioare, rezultă că fiecare mediană împarte triunghiul în alte două triunghiuri de arii egale (echivalente). [2] Toate cele trei mediane împart triunghiul în 6 triunghiuri mai mici având arii egale.

Demonstrație directă[modificare | modificare sursă]

Mediana demonstratie.JPG

În figura alăturată se observă că este linia mijlocie a triunghiului :, opusă laturii . Prin urmare, este paralelă cu și are lungimea egală cu .

Deoarece BC || DF rezultă că unghiurile:

și

fiind alterne interne. Prin urmare, triunghiurile și sunt asemenea. Rezultă că

===

Demonstrație prin Teorema lui Ceva[modificare | modificare sursă]

Deoarece:

= = = 1, rezultă că și : . . =1. Deci, conform reciprocei teoremei lui Ceva, medianele sunt concurente.

Lungimea medianei[modificare | modificare sursă]

Folosind teorema lui Stewart, lungimea medianei este egală cu:

,

unde a este latura pe care cade mediana.

Alte proprietăți[modificare | modificare sursă]

  • Într-un triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei are o lungime egală cu jumătate din cea a ipotenuzei.
  • Medianele unui triunghi dreptunghic având ipotenuza c satisfac proprietatea
  • Medianele corespunzătoare laturilor a și b sunt perpendiculare dacă și numai dacă [3]
  • Între lungimile laturilor unui triunghi și lungimile medianelor există relația: [4]
  • Se poate exprima aria unui triunghi, T, în funcție de lungimile medianelor precum si permimetrul ma, mb și mc, după cum urmează. Notând semisuma lungimilor medianelor (ma + mb + mc)/2 cu σ, obținem:[5]

Referințe[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Weisstein, Eric W. (). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition. CRC Press. pp. 375–377. ISBN 9781420035223. 
  2. ^ Bottomley, Henry. „Medians and Area Bisectors of a Triangle”. Accesat în . 
  3. ^ Boskoff, Homentcovschi, and Suceava (2009), Mathematical Gazette, Note 93.15.
  4. ^ Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T., Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996: pp. 86-87.
  5. ^ Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle," Mathematical Gazette" 87, July 2003, 324–326.

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Commons
Wikimedia Commons conține materiale multimedia legate de Mediană