Mediană

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Medianele și centrul de greutate al triunghiului.

Mediana unui triunghi este segmentul determinat de un vârf al triunghiului și mijlocul laturii opuse.

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Concurența medianelor într-un triunghi[modificare | modificare sursă]

Toate cele trei mediane ale unui triunghi se intersectează într-un punct numit centrul de greutate al acestuia. Centrul de greutate se găsește pe fiecare mediană la 1/3 de mijlocul laturii pe care cade mediana și 2/3 de vârful triunghiului din care pleacă mediana; [1]

Ca o consecință imediată a acestei proprietăți, rezultă și următoarea.

Împărțirea egală a ariilor[modificare | modificare sursă]

Fiecare mediană împarte triunghiul în alte două triunghiuri de arii egale (echivalente). [2] Toate cele trei mediane împart triunghiul în 6 triunghiuri mai mici având arii egale.

Demonstrație directă[modificare | modificare sursă]

Mediana demonstratie.JPG

În figura alăturată se observă că este linia mijlocie a triunghiului :, opusă laturii . Prin urmare, este paralelă cu și are lungimea egală cu .

Deoarece BC || DF rezultă că unghiurile:

și

fiind alterne interne. Prin urmare, triunghiurile și sunt asemenea. Rezultă că

===

Demonstrație prin teorema lui Ceva[modificare | modificare sursă]

Deoarece:

= = = 1, rezultă că și : . . =1. Deci, conform reciprocei teoremei lui Ceva, medianele sunt concurente.

Lungimea medianei[modificare | modificare sursă]

Folosind teorema lui Stewart, lungimea medianei este egală cu:

,

unde a este latura pe care cade mediana.

Alte proprietăți[modificare | modificare sursă]

  • Într-un triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei are o lungime egală cu jumătate din cea a ipotenuzei.
  • Medianele unui triunghi dreptunghic având ipotenuza c satisfac proprietatea
  • Medianele corespunzătoare laturilor a și b sunt perpendiculare dacă și numai dacă [3]
  • Între lungimile laturilor unui triunghi și lungimile medianelor există relația: [4]
  • Se poate exprima aria unui triunghi, T, în funcție de lungimile medianelor, ma, mb și mc, după cum urmează. Notând semisuma lungimilor medianelor (ma + mb + mc)/2 cu σ, obținem:[5]

Referințe[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Weisstein, Eric W. (2010). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition. CRC Press. pp. 375-377. ISBN 9781420035223 
  2. ^ Bottomley, Henry. „Medians and Area Bisectors of a Triangle. http://www.se16.info/js/halfarea.htm. Accesat la 27 septembrie 2013. 
  3. ^ Boskoff, Homentcovschi, and Suceava (2009), Mathematical Gazette, Note 93.15.
  4. ^ Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T., Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996: pp. 86-87.
  5. ^ Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle," Mathematical Gazette" 87, July 2003, 324–326.

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Commons
Wikimedia Commons conține materiale multimedia legate de Mediană