Inegalitatea lui Bernoulli

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Graficele funcţiilor
 , în roşu
 , în albastru.
S-a luat  

Inegalitatea lui Bernoulli, atribuită lui Jakob Bernoulli (1654 - 1705), reprezintă una din inegalitățile care stau la baza teoretică a analizei matematice.

Enunț[modificare | modificare sursă]

Dacă ,   cu   și   ,   atunci:


.


Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Cazul [modificare | modificare sursă]

Se aplică metoda inducției complete.

Pentru , inegalitatea este echivalentă  , ceea ce este evident.

Să presupunem că inegalitatea se verifică pentru și să demonstrăm că acest lucru implică valabilitatea și pentru .


Din rezultă


și aceasta deoarece .

.

Cum însă

(  deoarece  )

rezultă

așadar, propoziția este valabilă și pentru

Cazul [modificare | modificare sursă]

În acest caz, se va face apel la noțiunea de derivată.


Generalizare[modificare | modificare sursă]

Aplicații[modificare | modificare sursă]

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957
  • Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974


Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]