Formula lui Euler

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
(Redirecționat de la Identitatea lui Euler)
Salt la: Navigare, căutare

Formula lui Euler spune că, pentru orice număr real x,

e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \!

unde

 e \, este baza logaritmului natural
 i \, este unitatea imaginară
 \mathrm{cos} \, și  \mathrm{sin} \, sunt funcțiile trigonometrice.

Richard Feynman a numit formula lui Euler "bijuteria noastră" și "cea mai remarcabilă formulă din matematică".[1]

Pentru cazul particular x = π avem identitatea:

 e^{i\pi}+1=0 \,

care combină într-o formulă simplă cele cinci numere fundamentale i, π, e,1 și 0.

Istoric[modificare | modificare sursă]

Formula lui Euler a fost demonstrată pentru prima dată de Roger Cotes în 1714 sub forma

 \ln(\cos(x) + i\sin(x))=ix \

(unde "ln" înseamnă logaritm natural, adică logaritm în bază e)[2].

Euler a publicat ecuația în forma ei curentă în 1748, bazându-și demonstrația pe egalitatea seriilor infinite din ambele părți ale egalității. Niciunul dintre cei doi nu au intuit interpretarea geometrică a formulei: vederea numerelor complexe ca puncte din planul complex a apărut abia după 50 de ani. Euler a considerat firesc să prezinte studenților numerele complexe mult mai devreme decât se practică astăzi. În manualul său de algebră elementară, Elemente de Algebră, el introduce aceste numere aproape de la început și le folosește în mod natural de-a lungul întregii lucrări.

Aplicații în teoria numerelor complexe[modificare | modificare sursă]

Ilustrare a formulei lui Euler

Formula lui Euler, numită astfel după Leonhard Euler, este o formulă matematică din analiza complexă care arată o relație strânsă între funcțiile trigonometrice și funcția exponențială complexă. (Identitatea lui Euler este un caz particular al formulei lui Euler.)

Această formulă poate fi interpretată spunând că funcția eix trasează cercul unitate din planul numerelor complexe când x ia valori reale. Aici, x este unghiul dintre o dreaptă care leagă originea cu un punct pe cercul unitate și axa reală pozitivă, măsurată în sens trigonometric în radiani. Formula este validă doar dacă sin și cos își primesc argumentele exprimate în radiani, nu în grade.

Demonstrația originală se bazează pe dezvoltările în serie Taylor ale funcțiilor exponențială ez (cu z complex), sin x și cos x pentru numere reale x. De fapt, aceeași demonstrație arată că formula lui Euler este valabilă și pentru toate numerele complexe z.

Formula lui Euler poate fi folosită pentru a reprezenta numerele complexe în coordonate polare. Orice număr complex z = x + iy poate fi scris sub forma

 z = x + iy = |z| (\cos \phi + i\sin \phi ) = |z| e^{i \phi} \,
 \bar{z} = x - iy = |z| (\cos \phi - i\sin \phi ) = |z| e^{-i \phi} \,

unde

 x = \mathrm{Re}\{z\} \, partea reală
 y = \mathrm{Im}\{z\} \, partea imaginară
|z| = \sqrt{x^2+y^2} modulul lui z

și  \phi \, este argumentul lui z— unghiul între axa x și vectorul z măsurat în sens trigonometric și în radiani — definit până la 2π.

Acum, luând această formulă derivată, se poate folosi formula lui Euler pentru a defini logaritmul unui număr complex. Pentru a face asta, se folosește și faptul că

a = e^{\ln (a)}\,

și

e^a  e^{b} = e^{a + b}\,

ambele valabile pentru numerele complexe a și b.

De aceea se poate scrie:


z=|z| e^{i \phi} = 
e^{\ln |z|} e^{i \phi}
= e^{\ln |z| + i \phi}\,

pentru orice z\ne 0. Scoțând logaritm din ambele părți, rezultă:

\ln z= \ln |z| + i \phi.\,

și aceasta se poate folosi ca definiția logaritmului complex.

În fine, legea exponențială

(e^a)^k = e^{a k}, \,

care este valabilă pentru orice întreg k, împreună cu formula lui Euler implică anumite identități trigonometrice, precum și formula lui de Moivre.

Legăturile cu trigonometria[modificare | modificare sursă]

Formula lui Euler furnizează o legătură puternică între analiza matematică și trigonometrie, aducând o interpretare a funcțiilor sinus și cosinus ca sume ponderate ale funcției exponențiale:

\cos x = \mathrm{Re}\{e^{ix}\} ={e^{ix} + e^{-ix} \over 2}
\sin x = \mathrm{Im}\{e^{ix}\} ={e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}

Cele două ecuații de mai sus pot fi derivate adunând și scăzând formulele lui Euler:

e^{ix} = \cos x + i \sin x \;
e^{-ix} = \cos(- x) + i \sin(- x)  = \cos x - i \sin x \;

și rezolvând pentru cosinus sau sinus.

Aceste formule pot servi chiar ca definiții ale funcțiilor trigonometrice de argument complex x. De exemplu, dacă x = iy, avem:

 \cos(iy) =  {e^{-y} + e^{y} \over 2} = \cosh(y)
 \sin(iy) =  {e^{-y} - e^{y} \over 2i} = i\cdot \sinh(y).

Exponențialele complexe pot simplifica trigonometria, deoarece sunt mai ușor de manipulat decât componentele lor sinusoidale. Una din tehnici este de a converti pur și simplu sinusoidele în expresii echivalente în termeni de exponențiale. După manipulări, rezultatul simplificat are valori reale. De exemplu:


\begin{align}
\cos(x)\cdot \cos(y) & = \frac{(e^{ix}+e^{-ix})}{2} \cdot \frac{(e^{iy}+e^{-iy})}{2} \\
& = \frac{e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{4} \\
& = \frac{e^{i(x+y)}+e^{i(-x-y)}}{4}+\frac{e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}}{4} \\
& = \frac{\cos(x+y)}{2} + \frac{\cos(x-y)}{2}.
\end{align}

O altă tehnică este reprezentarea sinusoidelor în termeni de parte reală a unei expresii complexe, și de a face manipulările pe acea expresie. De exemplu:


\begin{align}
\cos(x\cdot n)+\cos(x\cdot(n-2)) & = \mathrm{Re} \{\quad e^{ix n}+e^{ix(n-2)}\quad \} \\
& = \mathrm{Re} \{\quad e^{ix(n-1)}\cdot (e^{ix}+e^{-ix})\quad \} \\
& = \mathrm{Re} \{\quad e^{ix(n-1)}\cdot 2\cos(x)\quad \} \\
& = \cos(x\cdot(n-1))\cdot 2\cos(x).
\end{align}


Alte aplicații[modificare | modificare sursă]

În ecuații diferențiale, funcția eix se folosește adesea pentru a simplifica derivările, chiar dacă rezultatul final este o funcție reală care implică sinus și cosinus. Identitatea lui Euler este o consecință imediată a formulei lui Euler.

În ingineria electrică dar și în alte domenii, semnalele ce pot varia periodic în timp sunt adesea descrise ca o combinație de sinus și cosinus, și acestea se exprimă mai convenabil ca partea reală a funcțiilor exponențiale cu exponent imaginar, folosind formula lui Euler. De asemenea, analiza fazorială a circuitelor poate include formula lui Euler pentru reprezentarea impedanței unui capacitor sau a unui inductor.

Demonstrații[modificare | modificare sursă]

Folosind seriile Taylor[modificare | modificare sursă]

Aceasta este o demonstrație a formulei lui Euler folosind dezvoltări în serie Taylor și proprietățile puterilor lui i:

\begin{align}
i^0 &{}= 1, \quad &
i^1 &{}= i, \quad &
i^2 &{}= -1, \quad &
i^3 &{}= -i, \\
i^4 &={} 1, \quad &
i^5 &={} i, \quad &
i^6 &{}= -1, \quad &
i^7 &{}= -i, \\
\end{align}

și așa mai departe. Funcțiile ex, cos(x) și sin(x) (presupunând că x este număr real) pot fi exprimate folosind dezvoltările lor în serie Taylor în jurul lui zero:

 \begin{align}
 e^x &{}= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \\
 \cos x &{}= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\
 \sin x &{}= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots
\end{align}

Pentru z complex se definește fiecare funcție prin seriile de mai sus, înlocuind x cu z. Aceasta este posibil, deoarece raza de convergență a fiecărei serii este infinită. Atunci rezultă că

\begin{align}
 e^{iz} &{}= 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots \\
        &{}= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \\
        &{}= \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right) \\
        &{}= \cos (z) + i\sin (z)
\end{align}

Rearanjarea termenilor se justifică deoarece fiecare serie este absolut convergentă. Luând z = x număr real rezultă identitatea originală așa cum a descoperit-o Euler.

Folosind calculul diferențial[modificare | modificare sursă]

Se definește f prin

f(x) = \frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}}. \

Aceasta este permisă deoarece ecuația

e^{ix}\cdot e^{-ix}=e^0=1 \

implică faptul că e^{ix} nu este niciodată zero.

Derivata lui f , conform regulii câtului, este:

\begin{align}
 f'(x) &{}= \frac{(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{ix} - (\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\
       &{}= \frac{-\sin x\cdot e^{ix}-i^2\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\
       &{}= \frac{-\sin x\cdot e^{ix}+\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\
       &{}= 0.
\end{align}

Deci, f \ trebuie să fie o funcție constantă. Astfel,

\frac{\cos x + i \sin x}{e^{ix}}=f(x)=f(0)=\frac{\cos 0 + i \sin 0}{e^0}=1.

Rearanjând, rezultă că

\displaystyle\cos x + i \sin x=e^{ix} .

Folosind ecuații diferențiale ordinare[modificare | modificare sursă]

Se definește funcția g(x) prin

g(x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  e^{ix} .\

Considerând că i este constantă, primele două derivate ale lui g(x) sunt

g'(x) = i e^{ix} \
g''(x) = i^2 e^{ix} = -e^{ix} \

deoarece i 2 = −1 prin definiție. De aici se construiește următoarea ecuație diferențială ordinară liniară de ordinul 2:

g''(x) = -g(x) \

sau

g''(x) + g(x) = 0. \

Fiind o ecuație diferențială de ordinul 2, există două soluții liniar independente care o satisfac:

g_1(x) = \cos(x) \
g_2(x) = \sin(x). \

Atât cos(x) cât și sin(x) sunt funcții reale a căror a doua derivată este identică cu aceeași funcție cu semnul minus. Orice combinație liniară de soluții ale unei ecuații diferențiale omogene este de asemenea o soluție. Atunci, în general, soluția ecuației diferențiale este

g(x)\, = A g_1(x) + B g_2(x) \
= A \cos(x) + B \sin(x) \

pentru orice constante A și B. Dar nu toate valorile acestor două constante satisfac condițiile inițiale pentru g(x):

g(0) = e^{i0} = 1 \
g'(0) = i e^{i0} = i \ .

Totuși aceste condiții inițiale (aplicate soluției generale) sunt

g(0) = A \cos(0) + B \sin(0) = A \
g'(0) = -A \sin(0) + B \cos(0) = B \

deci rezultă

g(0) = A = 1 \
g'(0) = B = i \

și în cele din urmă,

g(x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x). \

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Feynman, Richard P. (1977). The Feynman Lectures on Physics, vol. I. Addison-Wesley. pp. p. 22-10. ISBN 0-201-02010-6 
  2. ^ John Stillwell (2002). Mathematics and Its History. Springer