Mulțime mărginită
 | Acest articol sau această secțiune are bibliografia incompletă sau inexistentă. Puteți contribui prin adăugarea de referințe în vederea susținerii bibliografice a afirmațiilor pe care le conține. |
- "Mărginirea" și "marginea" sunt concepte diferite. Un disc nu are o margine propriu-zisă, dar este mărginit, în timp ce un semiplan este nemărginit deși are o margine (este semimărginit).
În analiza matematică și în domenii conexe acesteia, o mulțime se consideră mărginită dacă este, într-un anume sens, de măsură finită. De asemenea, o mulțime care nu este mărginită se numește nemărginită. Noțiunea de mărginire nu are sens într-un spațiu topologic generic în lipsa unei metrici pe acesta.
Exemple de mulțimi mărginite se întâlnesc în geometrie: segmente de dreaptă, suprafețe mărginite de un contur poligonal închis sau curbe închise ca cercuri, elipse, corpuri solide de volum finit etc. Aceste mulțimi mărginite sunt nenumărabile. Măsurile atașate acestor mulțimi sunt prin intermediul mărimilor lungime, arie și volum.
Definiții[modificare | modificare sursă]
O submulțime S a mulțimii numerelor reale este mărginită superior dacă există un număr real M astfel încât M ≥ x pentru orice x din S. Numerele M cu această proprietate se numesc majoranți ai lui S. Cel mai mic majorant al mulțimii S se numește limita superioară a acesteia. Termenii mărginită inferior, minorant și limită inferioară sunt analogi.
Mulțimea S se numește mărginită dacă admite simultan atât o limită superioară cât și una inferioară. Practic, o mulțime de numere reale este mărginită dacă este conținută într-un interval finit.
Spații metrice[modificare | modificare sursă]
O submulțime S a unui spațiu metric (M, d) este mărginită dacă este inclusă într-o bilă de rază finită, adică există un x în M și un r > 0 astfel încât pentru orice s din S, d(x, s) < r.
Spații topologice vectoriale[modificare | modificare sursă]
Într-un spațiu topologic vectorial există o definiție alternativă pentru noțiunea de mărginire, numită mărginire în sens von Neumann. Dacă topologia acelui spațiu este indusă de o metrică omogenă (cum este cazul normei din spațiu vectorial normat), cele două definiții sunt echivalente.