Mulțime compactă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Jump to navigation Jump to search

Mulțimea compactă este o noțiune folosită în analiză matematică și în topologie care desemnează acele submulțimi ale mulțimii numerelor reale care sunt mărginite și închise.


Formulări echivalente[modificare | modificare sursă]

O submulțime a mulțimii numerelor reale este compactă dacă este satisfăcută una din condițiile (echivalente:)

  • Orice șir de elemente ale submulțimii admite un subșir convergent, a cărui limită aparține mulțimii (criteriul cu șiruri).
  • Orice acoperire deschisă admite o subacoperire finită (criteriul acoperirii).

Generalizare[modificare | modificare sursă]

Noțiunea se poate generaliza pe sau pentru spații vectoriale infinit-dimensionale.


Exemple[modificare | modificare sursă]

Fie     cu .

  • Intervalulul închis     este compact. Orice șir convergent cu termeni din acest interval are limita situată pe .
  • Intervalele semideschise     și intervalul deschis nu sunt compacte deoarece nu sunt închise. Există șiruri care converg la fiecare din extremitățile intervalelor.
  • Mulțimea numerelor reale     nu este compactă, deoarece nu este nici închisă, nici mărginită. Există șiruri de numere reale cu orice subșir crescător nemărginit (De exemplu mulțimea numerelor naturale   ).


Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]