Mulțime compactă

Mulțimea compactă este o noțiune folosită în analiză matematică și în topologie care desemnează acele submulțimi ale mulțimii numerelor reale care sunt mărginite și închise.

Formulări echivalente

O submulțime a mulțimii numerelor reale $\mathbb {R}$ este compactă dacă este satisfăcută una din condițiile (echivalente:)

• Orice șir de elemente ale submulțimii admite un subșir convergent, a cărui limită aparține mulțimii (criteriul cu șiruri).

• Orice acoperire deschisă admite o subacoperire finită (criteriul acoperirii).

Generalizare

Noțiunea se poate generaliza pe $\mathbb {R} ^{n}$ sau pentru spații vectoriale infinit-dimensionale.

Exemple

Fie   $a,b\in \mathbb {R}$   cu $a<b\,$.

• Intervalulul închis   $[a,b]\,$   este compact. Orice șir convergent cu termeni din acest interval are limita situată pe $[a,b]\,$.

• Intervalele semideschise   $(a,b],\;[a,b)$   și intervalul deschis $(a,b)\,$ nu sunt compacte deoarece nu sunt închise. Există șiruri care converg la fiecare din extremitățile intervalelor.

• Mulțimea numerelor reale   $\mathbb {R}$   nu este compactă, deoarece nu este nici închisă, nici mărginită. Există șiruri de numere reale cu orice subșir crescător nemărginit (De exemplu mulțimea numerelor naturale   $\mathbb {N}$).

Vezi și

• Mulțime deschisă
• Spațiu topologic
• Spațiu compact

Legături externe

• en Mulțimi compacte la MathWorld
• en Același subiect la Mathreference.com
• en Idem la PlanetMath^{[nefuncțională]}