Criteriul Kummer

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Jump to navigation Jump to search

Enunț:[modificare | modificare sursă]

Fie o serie numerică cu termeni pozitivi. Dacă există un șir de numere reale pozitive , o constantă și un număr natural așa încât atunci seria este convergentă, altfel dacă și este divergentă, atunci este divergentă.

Demonstrație:[modificare | modificare sursă]

Demonstrăm prima parte: unde am ținut cont că . Din această inegalitate deducem: unde . Din ultima inegalitate deducem Acest rezultat arată că este un șir mărginit superior iar din faptul că si . deduceam că este crescător. Din teorema lui Weierstarss avem că este convergent și deci este convergentă.Demonstrăm acum partea a doua.Dacă . Din al doilea criteriu al comparației și ținând cont că este divergentă avem că este divergentă.