În analiza matematică, teorema Weierstrass-Bolzano exprimă o proprietate esențială a topologiei numerelor reale.
Este asociată matematicienilor Karl Weierstrass și Bernard Bolzano.
O submulțime mărginită și infinită de numere reale are cel puțin un punct de acumulare.
Fie A o mulțime mărginită și infinită de numere reale.
Există 
cu 
pentru orice 
Luăm 
și considerăm 
Cel puțin unul din intervalele ![{\displaystyle [a_{0},c],[c,b_{0}]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85f6aeebac76ac2f5819bf045a489b2bc7430cc1)
conține o infinitate de elemente din A.
Se notează acest interval prin ![{\displaystyle [a_{1},b_{1}].\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0738432f99caa633113e06c0a35898364e790375)
Deci ![{\displaystyle [a_{1},b_{1}]\subset [a_{0},b_{0}]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cc43c03790754239aaae6f0834152ba2c524994)
și că 
Repetând raționamentul, rezultă o familie de intervale ![{\displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n}]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9ddbe3a4213b2f51106f5b4816229bc148d5128)
cu proprietățile:
a) 
b) 
Prima proprietate permite aplicarea principiului Cantor-Dedekind, de unde va rezulta că intersecția familiei de intervale este nevidă, adică va conține intervalul ![{\displaystyle [\alpha ,\beta ]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c93276a7710cef8652dfcc96d56cda3719526831)
ce apare în demonstrația principiului.
Folosind a doua proprietate și principiul lui Arhimede, se va arăta că intersecția familiei de intervale se reduce la un singur număr real, adică faptul că 
Din 
pentru orice 
rezultă că:
și se obține:
Aplicând principiul lui Arhimede pentru 
și pentru 
rezultă că există cu:
fapt ce contrazice inegalitatea stabilită anterior, respectiv:
Se notează prin 
valoarea comună a lui 
și 
Pentru aceasta se demonstrează că este punct de acumulare pentru mulțimea A.
Fie 
o vecinătate a lui 
Se demonstrează mai întâi că există 
și 
cu
Dacă pentru orice n avem că 
atunci obținem că ![{\displaystyle [x_{0}-\varepsilon ,x_{0}]\subseteq [a_{n},b_{n}]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/461cc9aa9de30716e5a9aae50ef14bf32f573d1a)
pentru orice n deci ar rezulta că intersecția intervalelor nu se reduce la un punct.
Similar se obține existența lui cu proprietatea menționată.
În fapt, inegalitățile:
rezultă imediat și din construcția lui și
Fie în continuare 
Avem inegalitățile:
și deoarece intervalul ![{\displaystyle [a_{k},b_{k}]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ac0c00f6d7a87472e9def2255cebc3529fc70e2)
conține o infinitate de elemente din mulțimea A, rezultă că este un punct de acumulare al mulțimii.
