Serie formală

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Jump to navigation Jump to search

În algebră, conceptul de serie formală reprezintă o generalizare a noțiunii de polinom. A apărut în lucrările lui Isaac Newton și are aplicații în analiza matematică, studiul ecuațiilor diferențiale, geometrie algebrică și în alte ramuri matematice.

Definiție[modificare | modificare sursă]

Fie un inel integru. Se numește serie formală, într-o variabilă cu coeficienți în inelul o funcție

Fie mulțimea valorilor lui Acestei mulțimi i se asociază expresia:

unde este șirul de numere reale care are al doilea element 1, iar celelalte elemente zero. Deoarece seriei formale i se poate asocia expresia de mai sus, în loc de se mai scrie iar elementele se numesc coeficienții seriei formale f.

Mulțimea seriilor formale într-o variabilă cu coeficienți în inelul integru se notează

Exemple[modificare | modificare sursă]

Orice polinom într-o variabilă cu coeficienți în inelul este o serie formală:

astfel încât există pentru care iar În acest caz, k se numește gradul polinomului f, iar f se mai scrie sub forma:

Dacă atunci gradul polinomului f se consideră a fi

 
.  
 

În exemplul se vede că unui polinom într-o variabilă cu coeficienți în inelul A i se asociază un număr natural bine determinat, gradul acestuia. Pentru o serie formală oarecare nu se mai poate defini noțiunea de grad, deoarece nu se știe dacă există un număr natural astfel încât pentru Există însă cel mai mic număr natural pentru care (eventual ).

Ordinul unei serii formale[modificare | modificare sursă]

Se numește ordinul seriei formale într-o variabilă cu coeficienți în inelul numărul:

Operații cu serii formale[modificare | modificare sursă]

Fie și două serii formale într-o variabilă cu coeficienți în inelul Se definește suma și produsul lor astfel:

Dacă este un inel comutativ, atunci și este un inel comutativ.

"Adunarea" și "înmulțirea" seriilor formale într-o variabilă cu coeficienți în inelul comutativ sunt asociative și comutative deoarece "adunarea" și "înmulțirea" din inelul sunt asociative și comutative.

Seria formală este element neutru pentru adunarea seriilor formale.

Dacă atunci seria formală este opusa seriei formale întrucât Seria formală este element neutru pentru înmulțirea seriilor formale.

Serii formale inversabile[modificare | modificare sursă]

O serie formală într-o variabilă cu coeficienți în inelul comutativ

este inversabilă în dacă și numai dacă elementul este inversabil în

Se arată mai întâi că dacă seria formală este inversabilă în atunci este inversabilă în Fie astfel încât Atunci deci este inversabil în

Reciproc, acum se presupune că elementul este inversabil în și se arată că seria formală este inversabilă în Pentru aceasta, se demonstrează că există o serie formală astfel încât Pentru aceasta, se arată că există elementele astfel încât:

Din rezultă că

Din rezultă că

Din rezultă că

Dacă se presupune că sunt determinați atunci din relația rezultă că

Deci există o serie formală astfel încât

Exemple de serii formale inversabile[modificare | modificare sursă]

Fie Deoarece rezultă că:

Se observă că este inversabil în dar nu este inversabil în

Fie

Elementul este inversabil, deci seria formală este inversabilă în Se determină seria formală:

Se obține:

Prin identificarea coeficienților, se obține:

            deci
            deci
            deci
            deci
            deci
            deci
            deci

Deci coeficienții se repetă. Prin urmare:

Aplicații[modificare | modificare sursă]

Fie și Se arată că Există relațiile:

(deoarece toți coeficienții puterilor lui sunt nuli).

Prin urmare Rezultă:

de unde

Se vor defini cu ajutorul seriilor formale unele funcții elementare care sunt utilizate frecvent. Pentru a demonstra unele proprietăți ale acestor funcții, se va utiliza noțiunea de derivată a unei serii formale.

Se numește derivata seriei formale într-o variabilă cu coeficienți în inelul comutativ

seria formală:

Derivata unei serii formale se mai notează sau

Se remarcă faptul că dacă este o serie formală într-o variabilă cu coeficienți reali, atunci este derivata obișnuită a funcției

Funcțiile trigonometrice formale[modificare | modificare sursă]

Se numește funcția sinus formal următoarea serie formală într-o variabilă cu coeficienți reali:

Se numește funcția cosinus formal următoarea serie formală într-o variabilă cu coeficienți reali:

Pentru funcțiile trigonometrice formale există relațiile:

De remarcat faptul că:

Dacă atunci :

Se consideră seriile formale în variabila cu coeficienți reali:

Se remarcă faptul că: De asemenea:

Derivând și seria formală se obține:

Dacă are ordinul zero, adică Însă prin urmare De aici rezultă și deci:

Funcția exponențială[modificare | modificare sursă]

Se numește funcție exponențială funcția definită prin seria formală:

unde

Prin urmare:

Pentru funcția exponențială se mai folosește și notația

Se remarcă faptul că

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Miron Nicolescu - Analiză matematică, vol. I, 1957;
  • P. Samuel, O. Zariski - Comutative algebra, vol. I, 1959;
  • N. Radu, I. D. Ion - Algebra, 1970.