Produs vectorial

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
(Redirecționat de la Produs vectorial a doi vectori)
Salt la: Navigare, căutare
Acest articol se referă la produsul vectorial a doi vectori. Pentru concepte similare, vedeți Produs (dezambiguizare).
Aria unui paralelogram este corespondentul grafic al valorii scalare a unui produs vectorial a doi vectori.


Produsul vectorial a doi vectori \vec a\times\vec b este o operație binară a doi vectori \vec a și \vec b într-un spațiu euclidian tridimensional (vedeți spațiu euclidian) în urma căreia rezultă un alt vector \vec c care este perpendicular pe cei doi vectori inițiali iar mărimea vectorului \vec c corespunde ariei paraleleogramului cu laturile \vec a și \vec b. Prin comparație, produsul scalar a doi vectori produce un rezultat care este un scalar. În cazul multor concepte și modelări din fizică și inginerie este foarte practic să se exprime un fenomen sau o măsurabilă prin definirea sa ca un produs vectorial a doi vectori. Această operație este cunoscută și ca produsul vectorial Gibbs, după numele lui fizicianului și matematicianului american Josiah Willard Gibbs, cel care a inventat analiza vectorială.

Aflarea direcţiei vectorului care este rezultatul produsului vectorial cu ajutorul regulii mâinii drepte.

Definiție[modificare | modificare sursă]

Fie vectorii   \vec a, \vec b \in \mathcal V_3   și   \varphi \in [0, \pi ]   unghiul dintre aceștia dacă   \vec a, \vec b \in \mathcal V_3 \setminus \{ \vec 0 \}.  

Se numește produs vectorial al vectorilor   \vec a, \vec b   vectorul:

 \vec a \times \vec b = \begin{cases} \| \vec a \| \cdot \| \vec b\| \cdot \sin \varphi \cdot \vec e, &  dac \breve a \; \vec a \; \underset {,}{s}i \; \vec b \; sunt \; necoliniari \\ \; 0 \; \; , & dac \breve a \; \vec a \; \underset {,}{s}i \; \vec b \; sunt \; coliniari  \end{cases}

unde   \vec e   este un versor perpendicular pe planul determinat de   \vec a    și   \vec b   având aceeași origine și orientat după regula burghiului și anume în sensul de înaintare a unui burghiu când   \vec a   se rotește către   \vec b   printr-un unghi minim.

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Produsul vectorial are proprietățile:

1)   \vec a \times \vec b = - (\vec b \times \vec a), \; (\forall) \vec a, \vec b \in \mathcal V_3;   (anticomutativitate)

2)   \lambda (\vec a \times \vec b) = \lambda \vec a \times \vec b = \vec a \times \lambda \vec b, \; (\forall) \lambda \in \mathbb R, \; \vec a , \vec b \in \mathcal V_3.  

3)   ( \vec a + \vec b ) \times \vec c = \vec a \times \vec c + \vec b \times \vec c, \; (\forall) \vec a, \vec b, \vec c \in \mathcal V_3;   (distributivitate față de adunarea vectorilor)

4)   \vec a \times \vec a = \vec 0, \; (\forall) \vec a \in \mathcal V_3;  

5)   \| \vec a \times \vec b \|^2 =   \| \vec a  \|^2 \cdot  \| \vec b \|^2 - (\vec a \cdot \vec b)^2;  (identitatea lui Lagrange)

6) Dacă   \vec a = a_1 \vec i + a_2 \vec j + a_3 \vec k, \; \; \vec b = b_1 \vec i + b_2 \vec j + b_3 \vec k ,  atunci:

 \vec a \times \vec b = (a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec i + (a_3 b_1- a_1 b_3 ) \vec j + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \vec k =
 = \begin{vmatrix}  \vec i & \vec j & \vec k \\ a_1& a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix};   (expresia analitică a produsului vectorial)

7)   \| \vec a \times \vec b \|   este aria paralelogramului construit pe suporturile reprezentanților lui   \vec a   și   \vec b   având aceeași origine. Aria unui triunghi   ABC   este dată de:

 A_{\vartriangle ABC} = \frac 12 \cdot \| \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC}\|.


Vezi și[modificare | modificare sursă]

Note[modificare | modificare sursă]

Referințe[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]