Spațiu metric

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
(Redirecționat de la Metrică (matematică))
Salt la: Navigare, căutare

În matematică, prin spațiu metric se înțelege orice mulțime X pe care este definită o funcție ce satisface proprietățile:

  • (d este pozitiv definită)
  • dacă și numai dacă (d satisface identitatea indiscernabililor)
  • (d este simetrică)
  • (inegalitatea triunghiului)

Orice funcție d cu proprietățile de mai sus se numește funcție distanță sau metrică.

Exemple importante[modificare | modificare sursă]

  • mulțimile numerelor naturale, întregi, raționale, reale, complexe, împreună cu funcția distanță definită ca
  • orice spațiu vectorial normat, cu distanța indusă de normă:
    • în particular, spațiul cu distanța euclidiană ,

unde .

Bile[modificare | modificare sursă]

Prin bila deschisă de centru și de rază , notată , se înțelege mulțimea punctelor a căror distanță până la x este strict mai mică decât r: . Bila închisă de centru x și rază r, notată sau, uneori, , este .

De notat că, în raport cu topologia indusă de metrică (vezi secțiunea următoare), orice bilă deschisă este o mulțime deschisă și orice bilă închisă este o mulțime închisă. În orice spațiu metric are loc , unde desemnează închiderea topologică a mulțimii M. În spațiile normate finit-dimensionale, de exemplu în , , și , are loc egalitatea .

Topologia indusă de metrică[modificare | modificare sursă]

Orice metrică induce o topologie pe mulțimea de puncte. Astfel, orice spațiu metric este și spațiu topologic. Topologia indusă de metrică este definită astfel (oricare din cele două variante sunt echivalente):

  • O submulțime a spațiului este deschisă dacă pentru orice punct al ei există o bilă centrată în acel punct și de rază nenulă inclusă în A ()
  • O submulțime este vecinătate a punctului dacă V include cel puțin o bilă de rază nenulă centrată în x:

Echivalența metricilor[modificare | modificare sursă]

Pe o aceeași mulțime se pot defini mai multe funcții distanță, rezultând structuri de spațiu metric distincte pe aceeași mulțime de bază. Două funcții distanță, și definite pe aceeași mulțime se numesc:

  • echivalente topologic dacă induc aceeași topologie pe , adică dacă orice vecinătate în raport cu este vecinătate și în raport cu
  • echivalente Lipschitz dacă există două constante reale pozitive astfel încât

Două metrici Lipschitz-echivalente sunt întotdeauna echivalente topologic; reciproca nu este însă adevărată totdeauna.

Spații metrice complete[modificare | modificare sursă]

Un spațiu metric se numește complet dacă orice șir Cauchy este convergent.

De exemplu, mulțimea numerelor raționale nu este spațiu metric complet deoarece șirul este fundamental fără a fi convergent (același șir, în mulțimea numerelor reale este convergent și are ca limită numărul e. În schimb, mulțimea numerelor reale este spațiu metric complet.

Alte exemple[modificare | modificare sursă]

1. Fie un grup comutativ și o funcție ce satisface proprietățile:

Atunci aplicația este o metrică pe G.

2. Următoarele aplicații sunt distanțe pe