Sari la conținut

Adunarea matricilor

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Ilustrarea adunării a două matrici

În matematică adunarea matricilor este operația de a aduna două matrici prin adunarea elementelor corespunzătoare.

Pentru un vector, adunarea a două matrici ar avea efectul geometric de a aplica fiecare transformare a matricei separat pe , și apoi adunarea vectorilor transformați.

Totuși, există și alte operații care ar putea fi considerate adunări pentru matrici, cum ar fi suma directă și suma Kronecker.

Suma pe elemente

[modificare | modificare sursă]

Pentru a putea fi adunate, două matrici trebuie să aibă același număr de linii și coloane.[1] În acest caz, suma a două matrici A și B va fi o matrice care are același număr de linii și coloane ca și A și B. Suma lui A și B, notată A + B, se calculează prin adunarea elementelor corespunzătoare din A și B:

Sau, mai concis (presupunând că A + B = C):[2][3]

De exemplu:

Similar, este posibilă și scăderea unei matrice din alta, atâta timp cât au aceleași dimensiuni. Diferența dintre A și B, notată AB, se calculează prin scăderea elementelor lui B din elementele corespunzătoare ale lui A și are aceleași dimensiuni ca și A și B. De exemplu:

Proprietăți ale adunării pe elemente

[modificare | modificare sursă]

Asociativitate. Adunarea este asociativă, adică:

Comutativitate. Adunarea este comutativă, adică:

Element neutru. Adunarea admite matricea nulă ca element neutru, adică:

astfel încât

Element opus. Orice matrice are un opus, notat astfel încât:

Suma directă

[modificare | modificare sursă]

O altă operație, care este folosită mai rar, este suma directă (notată cu ⊕). Suma Kronecker se notează și ea cu ⊕; contextul ar trebui să clarifice despre ce este vorba. Suma directă a oricărei perechi de matrici A cu dimensiunea m × n și B cu dimensiunea p × q este o matrice de dimensiune (m + p) × (n + q), definită drept:

De exemplu,

Suma directă a matricilor este un tip particular de matrice de blocuri. În particular, suma directă a matricelor pătrate este o matrice de blocuri diagonală.

Matricea de adiacență a reuniunii de grafuri (sau multigrafuri) disjuncte este suma directă a matricilor de adiacență ale acestora. Orice element din suma directă⁠(d) a două spații vectoriale de matrici poate fi reprezentat ca o sumă directă a două matrici.

În general, suma directă a n matrici este:[4]

unde zerourile sunt de fapt blocuri de zerouri (adică matrici nule).

Suma Kronecker

[modificare | modificare sursă]

Suma Kronecker este diferită de suma directă, dar se notează și ea cu ⊕. Acesta este definită folosind produsul Kronecker ⊗ și adunarea normală a matricilor. Dacă A este o matrice n × n, B este o matrice m × m și este matricea unitate k × k, atunci suma Kronecker este definită prin:

  1. ^ en Elementary Linear Algebra by Rorres Anton 10e p53
  2. ^ en Weisstein, Eric W. „Matrix Addition”. mathworld.wolfram.com (în engleză). Accesat în . 
  3. ^ en „Finding the Sum and Difference of Two Matrices | College Algebra”. courses.lumenlearning.com. Accesat în . 
  4. ^ Lipschutz, Lipson, 2017

Legături externe

[modificare | modificare sursă]