Inegalitate

O inegalitate, în matematică, este o relație care există între oricare două mărimi care nu sunt egale. Se notează de obicei cu semnul ≠ („inegal”). Relațiile și notațiile > („mai mare”) și < („mai mic”) implică și ele o inegalitate.

Notații

Fie a, b două numere reale:

$a,b\in \mathbb {R}$$a,b\in \mathbb {R}$ (unde $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$ este corpul numerelor reale)

Atunci se definește:

• $a<b\!\$$a<b\!\$ înseamnă: a este mai mic (strict) decât b.
• $a>b\!\$$a>b\!\$ înseamnă: a este mai mare (strict) decât b.

Există și inegalități nestricte:

• $a\leq b$$a\leq b$ înseamnă: a este mai mic sau egal cu b.
• $a\geq b$$a\geq b$ înseamnă: a este mai mare sau egal cu b.

Proprietăți

Reflexivitatea

Între două numere reale $a,b\,$$a,b\,$   există numai una din relațiile:

• $a<b\!\$$a<b\!\$
• $a>b\,$$a>b\,$
• $a=b\,$$a=b\,$

Antisimetrie

Fie $a,b\in \mathbb {R}$$a,b\in \mathbb {R}$. Atunci:

• Dacă   $a<b\,$$a<b\,$   atunci   $b>a\,$$b>a\,$
• Dacă   $a>b\,$$a>b\,$   atunci   $b<a\,$$b<a\,$

Tranzitivitate

Fie   $a,b,c\in \mathbb {R}$$a,b,c\in \mathbb {R}$. Atunci:

• Dacă   $a<b\,$$a<b\,$   și   $b<c\,$$b<c\,$   atunci   $a<c\,$$a<c\,$
• Dacă   $a>b\,$$a>b\,$   și   $b>c\,$$b>c\,$   atunci   $a>c\,$$a>c\,$

Inegalități celebre

• Inegalitatea Cauchy-Schwarz
• Inegalitatea mediilor
• Inegalitatea lui Euler
• Inegalitatea lui Bernoulli
• Inegalitatea lui Bessel
• Inegalitatea triunghiului
• Inegalitatea lui Ptolemeu
• Inegalitatea lui Gauss
• Inegalitatea lui Abel
• Inegalitatea lui Jensen
• Inegalitatea lui Minkovski
• [Inegalitatea lui Chasles]

Bibliografie

• Ion, I. D. - Algebră pentru perfecționarea profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983
• Popa, C. - Introducere în Analiza matematică, Editura Facla, 1976
• Hardy, G.; Littlewood, J.E.; Polya, G. - Inequalities, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, 1999. ISBN 0-521-05206-8
• Hardy, Godfrey Harold; Littlewood, John Edensor; Polya, George - Inequalities, Cambridge University Press, 1952

Vezi și

• Relație binară
• Relație de ordine
• Egalitate
• Inecuație
• Interval (matematică)

Legături externe

• en Inegalități la MathWorld
• en Inegalități la Mathwarehouse
• en Inegalități la Math.com