Inegalitate

În matematică, o inegalitate este o expresie care exprimă faptul că o cantitate este „mai mare” decât o altă.

Sensul frazei „mai mare” depinde de relație de ordine folosită, dar în general termenul inegalitate se referă la comparație între două cantități numerice, cu noțiunea usuală de ordine (ordinea naturală pe mulțimea numerelor reale).

Un exemplu elementar de inegalitate este „ $1<2$ ”, care exprimă faptul că numărul 1 este mai mic decât numărul 2; un alt exemplu este „pentru orice număr real $x$ , $0\leq x^{2}$ ”, care exprimă faptul că pătratul oricărui număr real este un număr pozitiv sau egal cu 0.

Inegalitatea nu trebuie confundată cu neegalitatea — adică, negația unei egalitate — chiar dacă termenul are această semnificație și limbajul curent și etimologic vorbind. Un exemplu de neegalitate este „ $x\neq x+1$ ”.

Notații

Inegalitățile între numere reale se notează cu simbolurile „ $<$ ”, „ $>$ ”, „ $\leq$ ” și „ $\geq$ ”. Fie $a$ și $b$ . două numere reale. Atunci,

Simbolurile „ $<$ $<$ ” și „ $<$ $<$ ” reprezintă inegalități stricte:
- $a<b$ înseamnă „ $a$ și $b$ sunt diferite, și $a$ este mai mic decât $b$ ”.
- $a>b$ înseamnă „ $a$ și $b$ sunt diferite, și $a$ este mai mare decât $b$ ”.

Simbolurile „ $\leq$ $\leq$ ” și „ $\geq$ $\geq$ ” reprezintă inegalități nestricte:
- $a\leq b$ înseamnă „ $a$ este mai mic sau egal cu $b$ ”.
- $a\geq b$ înseamnă: „ $a$ este mai mare sau egal cu $b$ ”.

Proprietăți

Trihotomie

Între două numere reale $a$ și $b$ , este adevărată doar una din relațiile:

$a<b$
$a>b$
$a=b$

Antisimetrie

Fie $a,b\in \mathbb {R}$ . Atunci:

Dacă $a<b\,$ atunci $b>a\,$
Dacă $a>b\,$ atunci $b<a\,$

Tranzitivitate

Fie $a,b,c\in \mathbb {R}$ . Atunci:

Dacă $a<b\,$ și $b<c\,$ atunci $a<c\,$
Dacă $a>b\,$ și $b>c\,$ atunci $a>c\,$

Inegalități celebre

Note

Bibliografie

Ion, I. D. - Algebră pentru perfecționarea profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983
Popa, C. - Introducere în Analiza matematică, Editura Facla, 1976
Hardy, G.; Littlewood, J.E.; Polya, G. - Inequalities, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, 1999. ISBN 0-521-05206-8
Hardy, Godfrey Harold; Littlewood, John Edensor; Polya, George - Inequalities, Cambridge University Press, 1952

Vezi și

Legături externe

Portal Matematică