Inegalitatea lui Bessel

Inegalitatea lui Bessel este, în analiza funcțională, o teoremă referitoare la legătura dintre coeficienții unui element X dintr-un spațiu Hilbert și un șir ortonormal. Poartă numele matematicianului german Friedrich Wilhelm Bessel.

Fie $H$$H$ un spațiu Hilbert și să presupunem că $e_{1},e_{2},...$$e_{1},e_{2},...$ este un șir ortonormat în $H$$H$. Atunci, pentru orice $x$$x$ in $H$$H$ avem:

$\sum _{k=1}^{\infty }\left\vert \left\langle x,e_{k}\right\rangle \right\vert ^{2}\leq \left\Vert x\right\Vert ^{2}$$\sum _{k=1}^{\infty }\left\vert \left\langle x,e_{k}\right\rangle \right\vert ^{2}\leq \left\Vert x\right\Vert ^{2}$ unde <∙,∙> semnifică produsul intern în cadrul spațiului Hilbert $H$$H$.

Dacă definim suma infinită:

$x'=\sum _{k=1}^{\infty }\left\langle x,e_{k}\right\rangle e_{k},$$x'=\sum _{k=1}^{\infty }\left\langle x,e_{k}\right\rangle e_{k},$

fiind suma infinită a proiecțiilor vectorilor $x$$x$ pe direcția $e_{k}$$e_{k}$, inegalitatea lui Bessel conduce deci la concluzia că această serie este convergentă.

Inegalitatea lui Bessel rezultă din identitatea:

$\left\|x-\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}\right\|^{2}=\|x\|^{2}-2\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}+\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}=\|x\|^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2},$$\left\|x-\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}\right\|^{2}=\|x\|^{2}-2\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}+\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}=\|x\|^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2},$

valabilă pentru orice $n$$n$, cu excepția cazului când $n$$n$ este mai mic decât 1.