Inegalitatea lui Bessel

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Inegalitatea lui Bessel este, în analiza funcțională, o teoremă referitoare la legătura dintre coeficienții unui element X dintr-un spațiu Hilbert și un șir ortonormal. Poartă numele matematicianului german Friedrich Wilhelm Bessel.

Fie un spațiu Hilbert și să presupunem că este un șir ortonormat în . Atunci, pentru orice in avem:

unde <∙,∙> semnifică produsul intern în cadrul spațiului Hilbert .

Dacă definim suma infinită:

fiind suma infinită a proiecțiilor vectorilor pe direcția , inegalitatea lui Bessel conduce deci la concluzia că această serie este convergentă.

Inegalitatea lui Bessel rezultă din identitatea:

valabilă pentru orice , cu excepția cazului când este mai mic decât 1.