Acest articol are nevoie de atenția unui expert în matematică. ajutați chiar dumneavoastră la îmbunătățirea articolului!
Fie numerele reale strict mai mari decât zero :
a
{\displaystyle \ a}
b
{\displaystyle \ b}
x
1
{\displaystyle \ x_{1}}
x
2
{\displaystyle \ x_{2}}
x
n
{\displaystyle \ x_{n}}
Media aritmetică a numerelor
a
{\displaystyle \ a}
b
{\displaystyle \ b}
m
a
{\displaystyle \ m_{a}}
a
+
b
2
{\displaystyle {a+b} \over 2}
Generalizare : Media aritmetică a numerelor
x
1
{\displaystyle \ x_{1}}
x
2
{\displaystyle \ x_{2}}
x
n
{\displaystyle \ x_{n}}
m
a
{\displaystyle \ m_{a}}
x
1
+
x
2
+
.
.
.
+
x
n
n
{\displaystyle {x_{1}+x_{2}+...+x_{n}} \over n}
Media armonică a numerelor
a
{\displaystyle \ a}
b
{\displaystyle \ b}
m
h
{\displaystyle \ m_{h}}
2
1
a
+
1
b
{\displaystyle 2 \over {{1 \over a}+{1 \over b}}}
Generalizare : Media armonică a numerelor
x
1
{\displaystyle \ x_{1}}
x
2
{\displaystyle \ x_{2}}
x
n
{\displaystyle \ x_{n}}
m
h
{\displaystyle \ m_{h}}
n
1
x
1
+
1
x
2
+
.
.
.
+
1
x
n
{\displaystyle n \over {{1 \over x_{1}}+{1 \over x_{2}}+...+{1 \over x_{n}}}}
Media geometrică a numerelor
a
{\displaystyle \ a}
b
{\displaystyle \ b}
m
g
{\displaystyle \ m_{g}}
a
⋅
b
{\displaystyle {\sqrt {a\cdot b}}}
Generalizare : Media geometrică a numerelor
x
1
{\displaystyle \ x_{1}}
x
2
{\displaystyle \ x_{2}}
x
n
{\displaystyle \ x_{n}}
m
g
{\displaystyle \ m_{g}}
x
1
⋅
x
2
⋅
.
.
.
⋅
x
n
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{n}}}}
Media pătratică a numerelor
a
{\displaystyle \ a}
b
{\displaystyle \ b}
m
p
{\displaystyle \ m_{p}}
a
2
+
b
2
2
{\displaystyle {\sqrt {{a^{2}+b^{2}} \over 2}}}
Generalizare : Media pătratică a numerelor
x
1
{\displaystyle \ x_{1}}
x
2
{\displaystyle \ x_{2}}
x
n
{\displaystyle \ x_{n}}
m
p
{\displaystyle \ m_{p}}
x
1
2
+
x
2
2
+
.
.
.
+
x
n
2
n
{\displaystyle {\sqrt {{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}} \over n}}}
min
(
a
,
b
)
≤
m
h
≤
m
g
≤
m
a
≤
m
p
≤
max
(
a
,
b
)
{\displaystyle \min(a,b)\leq m_{h}\leq m_{g}\leq m_{a}\leq m_{p}\leq \max(a,b)}
În cuvinte, mediile armonică, geometrică, aritmetică și pătratică se află între a și b. Egalitatea se obține dacă a = b.
min
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
≤
m
h
≤
m
g
≤
m
a
≤
m
p
≤
max
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
{\displaystyle \min(x_{1},x_{2},...,x_{n})\leq m_{h}\leq m_{g}\leq m_{a}\leq m_{p}\leq \max(x_{1},x_{2},...,x_{n})}
min
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
≤
n
1
x
1
+
1
x
2
+
.
.
.
+
1
x
n
≤
x
1
x
2
.
.
.
x
n
n
≤
x
1
+
x
2
+
.
.
.
+
x
n
n
≤
x
1
2
+
x
2
2
+
.
.
.
+
x
n
2
n
≤
max
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
{\displaystyle \min(x_{1},x_{2},...,x_{n})\leq {n \over {{1 \over x_{1}}+{1 \over x_{2}}+...+{1 \over x_{n}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}\ x_{2}\ ...\ x_{n}}}\leq {{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}} \over n}\leq {\sqrt {{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}} \over n}}\leq \max(x_{1},x_{2},...,x_{n})}
Egalitatea 1 = x2 = ... = xn . Este atribuită lui Augustin Louis Cauchy .Fie
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
;
λ
1
,
λ
2
,
⋯
,
λ
n
∈
R
+
.
{\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n};\;\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n}\in \mathbb {R} _{+}.}
(
a
1
λ
1
⋅
a
2
λ
2
⋅
⋯
⋅
a
n
λ
n
)
1
λ
1
+
λ
2
+
⋯
+
λ
n
≤
λ
1
a
1
+
λ
2
a
2
+
⋯
+
λ
n
a
n
λ
1
+
λ
2
+
⋯
+
λ
n
.
{\displaystyle \left(a_{1}^{\lambda _{1}}\cdot a_{2}^{\lambda _{2}}\cdot \cdots \cdot a_{n}^{\lambda _{n}}\right)^{\frac {1}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}}}\leq {\frac {\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}+\cdots +\lambda _{n}a_{n}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}}}.}
Demonstrație .
Fie funcția
f
:
R
+
→
R
,
f
(
x
)
=
ln
x
.
{\displaystyle f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=\ln x.}
f
″
(
x
)
<
0
,
(
∀
)
x
∈
R
+
,
{\displaystyle f''(x)<0,\;(\forall )x\in \mathbb {R} _{+},}
f este concavă și deci:
ln
λ
1
a
1
+
λ
2
a
2
+
⋯
+
λ
n
a
n
λ
1
+
λ
2
+
⋯
+
λ
n
≥
λ
1
ln
a
1
+
λ
2
ln
a
2
+
⋯
+
λ
n
ln
a
n
λ
1
+
λ
2
+
⋯
+
λ
n
=
{\displaystyle \ln {\frac {\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}+\cdots +\lambda _{n}a_{n}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}}}\geq {\frac {\lambda _{1}\ln a_{1}+\lambda _{2}\ln a_{2}+\cdots +\lambda _{n}\ln a_{n}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}}}=}
=
ln
a
1
λ
1
+
ln
a
2
λ
2
+
⋯
+
ln
a
n
λ
n
λ
1
+
λ
2
+
⋯
+
λ
n
=
ln
(
a
1
λ
1
⋅
a
2
λ
2
⋅
⋯
⋅
a
n
λ
n
)
1
λ
1
+
λ
2
+
⋯
+
λ
n
.
{\displaystyle ={\frac {\ln a_{1}^{\lambda _{1}}+\ln a_{2}^{\lambda _{2}}+\cdots +\ln a_{n}^{\lambda _{n}}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}}}=\ln \left(a_{1}^{\lambda _{1}}\cdot a_{2}^{\lambda _{2}}\cdot \cdots \cdot a_{n}^{\lambda _{n}}\right)^{\frac {1}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}}}.}
În particular, dacă
λ
i
=
1
,
(
∀
)
i
=
1
,
n
¯
,
{\displaystyle \lambda _{i}=1,\;(\forall )i={\overline {1,n}},}
inegalitatea mediilor :
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/355885ee566aa0a373767777c79276730c57b1c8)
![{\displaystyle \min(x_{1},x_{2},...,x_{n})\leq {n \over {{1 \over x_{1}}+{1 \over x_{2}}+...+{1 \over x_{n}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}\ x_{2}\ ...\ x_{n}}}\leq {{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}} \over n}\leq {\sqrt {{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}} \over n}}\leq \max(x_{1},x_{2},...,x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88aeb25c10a56d23383f63bc3bf179c2f28d39ba)
