Inegalitatea mediilor

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Fie numerele reale strict mai mari decât zero : \ a, \ b, \ x_1, \ x_2, ...,\ x_n avem formulele :

  • Media aritmetică a numerelor \ a și \ b este \ m_a = {a+b}\over 2.
    • Generalizare : Media aritmetică a numerelor \ x_1, \ x_2, ...,\ x_n este \ m_a = {x_1+x_2+...+x_n}\over n.
  • Media armonică a numerelor \ a și \ b este \ m_h = 2\over {{1 \over a}+{1 \over b}} .
    • Generalizare : Media armonică a numerelor \ x_1, \ x_2, ...,\ x_n este \ m_h = n\over {{1 \over x_1}+{1 \over x_2}+...+{1 \over x_n}} .
  • Media geometrică a numerelor \ a și \ b este \ m_g = \sqrt{a \cdot b}.
    • Generalizare : Media geometrică a numerelor \ x_1, \ x_2, ...,\ x_n este \ m_g = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2\cdot ...\cdot  x_n} .
  • Media pătratică a numerelor \ a și \ b este \ m_p = \sqrt{{a^2+b^2}\over 2}.
    • Generalizare : Media pătratică a numerelor \ x_1, \ x_2, ...,\ x_n este \ m_p = \sqrt{{x_1^2+  x_2^2 +...  +x_n^2}\over n} .

Inegalitatea mediilor[modificare | modificare sursă]

  • \min (a, b)\le m_h \le m_g \le m_a \le m_p \le \max(a,b)
  • \min (a, b)\le {2\over {{1 \over a}+{1 \over b}}} \le {\sqrt{a\cdot b}} \le {{a+b}\over 2} \le \sqrt{{a^2+b^2}\over 2} \le \max(a,b)

În cuvinte, mediile armonică, geometrică, aritmetică și pătratică se află între a și b. Egalitatea se obține dacă a = b.yaz

Generalizare[modificare | modificare sursă]

Inegalitatea mediilor generalizate[modificare | modificare sursă]

Fie   a_1, a_2, \cdots , a_n ; \; \lambda_1, \lambda_2, \cdots , \lambda_n \in \mathbb R_{+}.   Atunci:

 \left (  a^{\lambda_1}_1 \cdot a^{\lambda_2}_2 \cdot \cdots \cdot a^{\lambda_n}_n \right )^{\frac {1}{\lambda_1+ \lambda_2+ \cdots + \lambda_n}} \le \frac {\lambda_1 a_1+ \lambda_2 a_2+ \cdots + \lambda_n a_n}  {\lambda_1+ \lambda_2+ \cdots + \lambda_n}.

Demonstrație. Fie funcția   f: \mathbb R_+ \to \mathbb R, \; f(x)= \ln x.   Deoarece   f''(x) <0, \; ( \forall ) x \in \mathbb R_+,   funcția f este concavă și deci:

 \ln \frac {\lambda_1 a_1+ \lambda_2 a_2+ \cdots + \lambda_n a_n}{\lambda_1+ \lambda_2+ \cdots + \lambda_n} \ge  \frac {\lambda_1 \ln a_1+ \lambda_2 \ln a_2+ \cdots + \lambda_n \ln a_n}{\lambda_1+ \lambda_2+ \cdots + \lambda_n} =
 = \frac { \ln a^{\lambda_1}_1+  \ln a^{\lambda_2}_2+ \cdots +  \ln a^{\lambda_n}_n}{\lambda_1+ \lambda_2+ \cdots + \lambda_n} = \ln \left (  a^{\lambda_1}_1 \cdot a^{\lambda_2}_2 \cdot \cdots \cdot a^{\lambda_n}_n \right )^{\frac {1}{\lambda_1+ \lambda_2+ \cdots + \lambda_n}} .

În particular, dacă   \lambda_i=1, \; (\forall) i = \overline {1, n},   se obține inegalitatea mediilor:

 \left ( a_1 a_2 \cdots a_n \right )^{\frac 1n} \le \frac {a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}.

Vezi și[modificare | modificare sursă]