Inegalitatea mediilor

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Fie numerele reale strict mai mari decât zero : , , , , ..., avem formulele :

  • Media aritmetică a numerelor și este = .
    • Generalizare : Media aritmetică a numerelor , , ..., este = .
  • Media armonică a numerelor și este = .
    • Generalizare : Media armonică a numerelor , , ..., este = .
  • Media geometrică a numerelor și este = .
    • Generalizare : Media geometrică a numerelor , , ..., este = .
  • Media pătratică a numerelor și este = .
    • Generalizare : Media pătratică a numerelor , , ..., este = .

Inegalitatea mediilor[modificare | modificare sursă]

În cuvinte, mediile armonică, geometrică, aritmetică și pătratică se află între a și b. Egalitatea se obține dacă a = b.

Generalizare[modificare | modificare sursă]

  • Egalitatea se obține pentru x1 = x2 = ... = xn . Este atribuită lui Augustin Louis Cauchy.

Inegalitatea mediilor generalizate[modificare | modificare sursă]

Fie    Atunci:

Demonstrație. Fie funcția    Deoarece    funcția f este concavă și deci:

În particular, dacă    se obține inegalitatea mediilor:

Vezi și[modificare | modificare sursă]