Acest articol are nevoie de atenția unui expert în matematică. Recrutați unul sau, dacă sunteți în măsură, ajutați chiar dumneavoastră la îmbunătățirea articolului!
Fie numerele reale strict mai mari decât zero :
a
{\displaystyle \ a}
,
b
{\displaystyle \ b}
,
x
1
{\displaystyle \ x_{1}}
,
x
2
{\displaystyle \ x_{2}}
, ...,
x
n
{\displaystyle \ x_{n}}
avem formulele :
Media aritmetică a numerelor
a
{\displaystyle \ a}
și
b
{\displaystyle \ b}
este
m
a
{\displaystyle \ m_{a}}
=
a
+
b
2
{\displaystyle {a+b} \over 2}
.
Generalizare : Media aritmetică a numerelor
x
1
{\displaystyle \ x_{1}}
,
x
2
{\displaystyle \ x_{2}}
, ...,
x
n
{\displaystyle \ x_{n}}
este
m
a
{\displaystyle \ m_{a}}
=
x
1
+
x
2
+
.
.
.
+
x
n
n
{\displaystyle {x_{1}+x_{2}+...+x_{n}} \over n}
.
Media armonică a numerelor
a
{\displaystyle \ a}
și
b
{\displaystyle \ b}
este
m
h
{\displaystyle \ m_{h}}
=
2
1
a
+
1
b
{\displaystyle 2 \over {{1 \over a}+{1 \over b}}}
.
Generalizare : Media armonică a numerelor
x
1
{\displaystyle \ x_{1}}
,
x
2
{\displaystyle \ x_{2}}
, ...,
x
n
{\displaystyle \ x_{n}}
este
m
h
{\displaystyle \ m_{h}}
=
n
1
x
1
+
1
x
2
+
.
.
.
+
1
x
n
{\displaystyle n \over {{1 \over x_{1}}+{1 \over x_{2}}+...+{1 \over x_{n}}}}
.
Media geometrică a numerelor
a
{\displaystyle \ a}
și
b
{\displaystyle \ b}
este
m
g
{\displaystyle \ m_{g}}
=
a
⋅
b
{\displaystyle {\sqrt {a\cdot b}}}
.
Generalizare : Media geometrică a numerelor
x
1
{\displaystyle \ x_{1}}
,
x
2
{\displaystyle \ x_{2}}
, ...,
x
n
{\displaystyle \ x_{n}}
este
m
g
{\displaystyle \ m_{g}}
=
x
1
⋅
x
2
⋅
.
.
.
⋅
x
n
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{n}}}}
.
Media pătratică a numerelor
a
{\displaystyle \ a}
și
b
{\displaystyle \ b}
este
m
p
{\displaystyle \ m_{p}}
=
a
2
+
b
2
2
{\displaystyle {\sqrt {{a^{2}+b^{2}} \over 2}}}
.
Generalizare : Media pătratică a numerelor
x
1
{\displaystyle \ x_{1}}
,
x
2
{\displaystyle \ x_{2}}
, ...,
x
n
{\displaystyle \ x_{n}}
este
m
p
{\displaystyle \ m_{p}}
=
x
1
2
+
x
2
2
+
.
.
.
+
x
n
2
n
{\displaystyle {\sqrt {{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}} \over n}}}
.
min
(
a
,
b
)
≤
m
h
≤
m
g
≤
m
a
≤
m
p
≤
max
(
a
,
b
)
{\displaystyle \min(a,b)\leq m_{h}\leq m_{g}\leq m_{a}\leq m_{p}\leq \max(a,b)}
În cuvinte, mediile armonică, geometrică, aritmetică și pătratică se află între a și b. Egalitatea se obține dacă a = b.
min
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
≤
m
h
≤
m
g
≤
m
a
≤
m
p
≤
max
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
{\displaystyle \min(x_{1},x_{2},...,x_{n})\leq m_{h}\leq m_{g}\leq m_{a}\leq m_{p}\leq \max(x_{1},x_{2},...,x_{n})}
min
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
≤
n
1
x
1
+
1
x
2
+
.
.
.
+
1
x
n
≤
x
1
x
2
.
.
.
x
n
n
≤
x
1
+
x
2
+
.
.
.
+
x
n
n
≤
x
1
2
+
x
2
2
+
.
.
.
+
x
n
2
n
≤
max
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
{\displaystyle \min(x_{1},x_{2},...,x_{n})\leq {n \over {{1 \over x_{1}}+{1 \over x_{2}}+...+{1 \over x_{n}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}\ x_{2}\ ...\ x_{n}}}\leq {{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}} \over n}\leq {\sqrt {{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}} \over n}}\leq \max(x_{1},x_{2},...,x_{n})}
Egalitatea se obține pentru x1 = x2 = ... = xn . Este atribuită lui Augustin Louis Cauchy .
Fie
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
;
λ
1
,
λ
2
,
⋯
,
λ
n
∈
R
+
.
{\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n};\;\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n}\in \mathbb {R} _{+}.}
Atunci:
(
a
1
λ
1
⋅
a
2
λ
2
⋅
⋯
⋅
a
n
λ
n
)
1
λ
1
+
λ
2
+
⋯
+
λ
n
≤
λ
1
a
1
+
λ
2
a
2
+
⋯
+
λ
n
a
n
λ
1
+
λ
2
+
⋯
+
λ
n
.
{\displaystyle \left(a_{1}^{\lambda _{1}}\cdot a_{2}^{\lambda _{2}}\cdot \cdots \cdot a_{n}^{\lambda _{n}}\right)^{\frac {1}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}}}\leq {\frac {\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}+\cdots +\lambda _{n}a_{n}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}}}.}
Demonstrație .
Fie funcția
f
:
R
+
→
R
,
f
(
x
)
=
ln
x
.
{\displaystyle f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=\ln x.}
Deoarece
f
″
(
x
)
<
0
,
(
∀
)
x
∈
R
+
,
{\displaystyle f''(x)<0,\;(\forall )x\in \mathbb {R} _{+},}
funcția f este concavă și deci:
ln
λ
1
a
1
+
λ
2
a
2
+
⋯
+
λ
n
a
n
λ
1
+
λ
2
+
⋯
+
λ
n
≥
λ
1
ln
a
1
+
λ
2
ln
a
2
+
⋯
+
λ
n
ln
a
n
λ
1
+
λ
2
+
⋯
+
λ
n
=
{\displaystyle \ln {\frac {\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}+\cdots +\lambda _{n}a_{n}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}}}\geq {\frac {\lambda _{1}\ln a_{1}+\lambda _{2}\ln a_{2}+\cdots +\lambda _{n}\ln a_{n}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}}}=}
=
ln
a
1
λ
1
+
ln
a
2
λ
2
+
⋯
+
ln
a
n
λ
n
λ
1
+
λ
2
+
⋯
+
λ
n
=
ln
(
a
1
λ
1
⋅
a
2
λ
2
⋅
⋯
⋅
a
n
λ
n
)
1
λ
1
+
λ
2
+
⋯
+
λ
n
.
{\displaystyle ={\frac {\ln a_{1}^{\lambda _{1}}+\ln a_{2}^{\lambda _{2}}+\cdots +\ln a_{n}^{\lambda _{n}}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}}}=\ln \left(a_{1}^{\lambda _{1}}\cdot a_{2}^{\lambda _{2}}\cdot \cdots \cdot a_{n}^{\lambda _{n}}\right)^{\frac {1}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}}}.}
În particular, dacă
λ
i
=
1
,
(
∀
)
i
=
1
,
n
¯
,
{\displaystyle \lambda _{i}=1,\;(\forall )i={\overline {1,n}},}
se obține inegalitatea mediilor :