Inegalitatea mediilor

Fie numerele reale strict mai mari decât zero : $\ a$$\ a$, $\ b$$\ b$, $\ x_{1}$$\ x_{1}$, $\ x_{2}$$\ x_{2}$, ...,$\ x_{n}$$\ x_{n}$ avem formulele :

• Media aritmetică a numerelor $\ a$$\ a$ și $\ b$$\ b$ este $\ m_{a}$$\ m_{a}$ = ${a+b} \over 2$${a+b} \over 2$.
  • Generalizare : Media aritmetică a numerelor $\ x_{1}$$\ x_{1}$, $\ x_{2}$$\ x_{2}$, ...,$\ x_{n}$$\ x_{n}$ este $\ m_{a}$$\ m_{a}$ = ${x_{1}+x_{2}+...+x_{n}} \over n$${x_{1}+x_{2}+...+x_{n}} \over n$.
• Media armonică a numerelor $\ a$$\ a$ și $\ b$$\ b$ este $\ m_{h}$$\ m_{h}$ = $2 \over {{1 \over a}+{1 \over b}}$$2 \over {{1 \over a}+{1 \over b}}$.
  • Generalizare : Media armonică a numerelor $\ x_{1}$$\ x_{1}$, $\ x_{2}$$\ x_{2}$, ...,$\ x_{n}$$\ x_{n}$ este $\ m_{h}$$\ m_{h}$ = $n \over {{1 \over x_{1}}+{1 \over x_{2}}+...+{1 \over x_{n}}}$$n \over {{1 \over x_{1}}+{1 \over x_{2}}+...+{1 \over x_{n}}}$.
• Media geometrică a numerelor $\ a$$\ a$ și $\ b$$\ b$ este $\ m_{g}$$\ m_{g}$ = ${\sqrt {a\cdot b}}$${\sqrt {a\cdot b}}$.
  • Generalizare : Media geometrică a numerelor $\ x_{1}$$\ x_{1}$, $\ x_{2}$$\ x_{2}$, ...,$\ x_{n}$$\ x_{n}$ este $\ m_{g}$$\ m_{g}$ = ${\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{n}}}$${\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{n}}}$.
• Media pătratică a numerelor $\ a$$\ a$ și $\ b$$\ b$ este $\ m_{p}$$\ m_{p}$ = ${\sqrt {{a^{2}+b^{2}} \over 2}}$${\sqrt {{a^{2}+b^{2}} \over 2}}$.
  • Generalizare : Media pătratică a numerelor $\ x_{1}$$\ x_{1}$, $\ x_{2}$$\ x_{2}$, ...,$\ x_{n}$$\ x_{n}$ este $\ m_{p}$$\ m_{p}$ = ${\sqrt {{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}} \over n}}$${\sqrt {{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}} \over n}}$.

Inegalitatea mediilor

• $\min(a,b)\leq m_{h}\leq m_{g}\leq m_{a}\leq m_{p}\leq \max(a,c)$$\min(a,b)\leq m_{h}\leq m_{g}\leq m_{a}\leq m_{p}\leq \max(a,c)$
• $\min(a,b)\leq {2 \over {{1 \over a}+{1 \over b}}}\leq {\sqrt {a\cdot b}}\leq {{a+b} \over 2}\leq {\sqrt {{a^{2}+b^{2}} \over 2}}\leq \max(a,b)$$\min(a,b)\leq {2 \over {{1 \over a}+{1 \over b}}}\leq {\sqrt {a\cdot b}}\leq {{a+b} \over 2}\leq {\sqrt {{a^{2}+b^{2}} \over 2}}\leq \max(a,b)$

În cuvinte, mediile armonică, geometrică, aritmetică și pătratică se află între a și b. Egalitatea se obține dacă a = b.

Generalizare

• $\min(x_{1},x_{2},...,x_{n})\leq m_{h}\leq m_{g}\leq m_{a}\leq m_{p}\leq \max(x_{1},x_{2},...,x_{n})$$\min(x_{1},x_{2},...,x_{n})\leq m_{h}\leq m_{g}\leq m_{a}\leq m_{p}\leq \max(x_{1},x_{2},...,x_{n})$
• $\min(x_{1},x_{2},...,x_{n})\leq {n \over {{1 \over x_{1}}+{1 \over x_{2}}+...+{1 \over x_{n}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}\ x_{2}\ ...\ x_{n}}}\leq {{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}} \over n}\leq {\sqrt {{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}} \over n}}\leq \max(x_{1},x_{2},...,x_{n})$$\min(x_{1},x_{2},...,x_{n})\leq {n \over {{1 \over x_{1}}+{1 \over x_{2}}+...+{1 \over x_{n}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}\ x_{2}\ ...\ x_{n}}}\leq {{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}} \over n}\leq {\sqrt {{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}} \over n}}\leq \max(x_{1},x_{2},...,x_{n})$
• Egalitatea se obține pentru x₁ = x₂ = ... = x_n . Este atribuită lui Augustin Louis Cauchy.

Inegalitatea mediilor generalizate

Fie  $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n};\;\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n}\in \mathbb {R} _{+}.$$a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n};\;\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n}\in \mathbb {R} _{+}.$  Atunci:

$\left(a_{1}^{\lambda _{1}}\cdot a_{2}^{\lambda _{2}}\cdot \cdots \cdot a_{n}^{\lambda _{n}}\right)^{\frac {1}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}}}\leq {\frac {\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}+\cdots +\lambda _{n}a_{n}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}}}.$$\left(a_{1}^{\lambda _{1}}\cdot a_{2}^{\lambda _{2}}\cdot \cdots \cdot a_{n}^{\lambda _{n}}\right)^{\frac {1}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}}}\leq {\frac {\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}+\cdots +\lambda _{n}a_{n}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}}}.$

Demonstrație. Fie funcția  $f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=\ln x.$$f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=\ln x.$  Deoarece  $f''(x)<0,\;(\forall )x\in \mathbb {R} _{+},$$f''(x)<0,\;(\forall )x\in \mathbb {R} _{+},$  funcția f este concavă și deci:

$\ln {\frac {\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}+\cdots +\lambda _{n}a_{n}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}}}\geq {\frac {\lambda _{1}\ln a_{1}+\lambda _{2}\ln a_{2}+\cdots +\lambda _{n}\ln a_{n}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}}}=$$\ln {\frac {\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}+\cdots +\lambda _{n}a_{n}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}}}\geq {\frac {\lambda _{1}\ln a_{1}+\lambda _{2}\ln a_{2}+\cdots +\lambda _{n}\ln a_{n}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}}}=$

$={\frac {\ln a_{1}^{\lambda _{1}}+\ln a_{2}^{\lambda _{2}}+\cdots +\ln a_{n}^{\lambda _{n}}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}}}=\ln \left(a_{1}^{\lambda _{1}}\cdot a_{2}^{\lambda _{2}}\cdot \cdots \cdot a_{n}^{\lambda _{n}}\right)^{\frac {1}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}}}.$$={\frac {\ln a_{1}^{\lambda _{1}}+\ln a_{2}^{\lambda _{2}}+\cdots +\ln a_{n}^{\lambda _{n}}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}}}=\ln \left(a_{1}^{\lambda _{1}}\cdot a_{2}^{\lambda _{2}}\cdot \cdots \cdot a_{n}^{\lambda _{n}}\right)^{\frac {1}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}}}.$

În particular, dacă  $\lambda _{i}=1,\;(\forall )i={\overline {1,n}},$$\lambda _{i}=1,\;(\forall )i={\overline {1,n}},$  se obține inegalitatea mediilor:

$\left(a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\right)^{\frac {1}{n}}\leq {\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}.$$\left(a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\right)^{\frac {1}{n}}\leq {\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}.$

Vezi și

• Medie
• Medie armonică
• Medie geometrică
• Medie pătratică