Inegalitatea mediilor

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Fie numerele reale strict mai mari decât zero : \ a, \ b, \ x_1, \ x_2, ...,\ x_n avem formulele :

  • Media aritmetică a numerelor \ a și \ b este \ m_a = {a+b}\over 2.
    • Generalizare : Media aritmetică a numerelor \ x_1, \ x_2, ...,\ x_n este \ m_a = {x_1+x_2+...+x_n}\over n.
  • Media armonică a numerelor \ a și \ b este \ m_h = 2\over {{1 \over a}+{1 \over b}} .
    • Generalizare : Media armonică a numerelor \ x_1, \ x_2, ...,\ x_n este \ m_h = n\over {{1 \over x_1}+{1 \over x_2}+...+{1 \over x_n}} .
  • Media geometrică a numerelor \ a și \ b este \ m_g = \sqrt{a \cdot b}.
    • Generalizare : Media geometrică a numerelor \ x_1, \ x_2, ...,\ x_n este \ m_g = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2\cdot ...\cdot  x_n} .
  • Media pătratică a numerelor \ a și \ b este \ m_p = \sqrt{{a^2+b^2}\over 2}.
    • Generalizare : Media pătratică a numerelor \ x_1, \ x_2, ...,\ x_n este \ m_p = \sqrt{{x_1^2+  x_2^2 +...  +x_n^2}\over n} .

Inegalitatea mediilor[modificare | modificare sursă]

  • \min (a, b)\le m_h \le m_g \le m_a \le m_p \le \max(a,b)
  • \min (a, b)\le {2\over {{1 \over a}+{1 \over b}}} \le {\sqrt{a\cdot b}} \le {{a+b}\over 2} \le \sqrt{{a^2+b^2}\over 2} \le \max(a,b)

În cuvinte, mediile armonică, geometrică, aritmetică și pătratică se află între a și b. Egalitatea se obține dacă a = b.

Generalizare[modificare | modificare sursă]

Forma integrală[modificare | modificare sursă]

Vezi și[modificare | modificare sursă]