Teorema lui Euler (geometrie)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Jump to navigation Jump to search

Teorema lui Euler din geometrie stabilește relația dintre distanța între centrul cercului circumscris unui triunghi și centrul cercului înscris în acel triunghi și razele acestor cercuri.

Enunț[modificare | modificare sursă]

Fie triunghiul ABC. Notând:

  • O - centrul cercului circumscris triunghiului
  • I - centrul cercului înscris în triunghi
  • R - raza cercului circumscris
  • r - raza cercului înscris
  • d - distanța dinte O și I

Rezultă:

.

De aici, rezultă și inegalitatea lui Euler:


.

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Se notează:

  • L - punctul în care bisectoarea AI intersectează a doua oară cercul circumscris
  • M - punctul diametral opus lui L
  • D - proiecția lui I pe latura
  • P, Q - punctele în care dreapta OI intersectează cercul circumscris.
  • - unghiurile triunghiului

Triunghiurile dreptunghice sunt asemenea. Se obține:

.

De aici:

Mai departe:

.

Dar

Așadar, triunghiul este isoscel. Deci

Relația (1) devine:

Dar puterea punctului I față de cercul circumscris poate fi scrisă în două moduri:

Ținând cont că , înlocuind în (2), se obține:

.

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Nicolescu, L.; Boskoff, V. - Probleme practice de geometrie, Editura Tehnică, București, 1990

Legături externe[modificare | modificare sursă]