Teorema lui Euler (geometrie)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Teorema lui Euler din geometrie stabilește relația dintre distanța între centrul cercului circumscris unui triunghi și centrul cercului înscris în acel triunghi și razele acestor cercuri.

Enunț[modificare | modificare sursă]

Fie triunghiul ABC. Notând:

  • O - centrul cercului circumscris triunghiului
  • I - centrul cercului înscris în triunghi
  • R - raza cercului circumscris
  • r - raza cercului înscris
  • d - distanța dinte O și I

Rezultă:

.

De aici, rezultă și inegalitatea lui Euler:


.

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Se notează:

  • L - punctul în care bisectoarea AI intersectează a doua oară cercul circumscris
  • M - punctul diametral opus lui L
  • D - proiecția lui I pe latura
  • P, Q - punctele în care dreapta OI intersectează cercul circumscris.
  • - unghiurile triunghiului

Triunghiurile dreptunghice sunt asemenea. Se obține:

.

De aici:

Mai departe:

.

Dar

Așadar, triunghiul este isoscel. Deci

Relația (1) devine:

Dar puterea punctului I față de cercul circumscris poate fi scrisă în două moduri:

Ținând cont că , înlocuind în (2), se obține:

.

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Nicolescu, L.; Boskoff, V. - Probleme practice de geometrie, Editura Tehnică, București, 1990

Legături externe[modificare | modificare sursă]