Identitate (matematică)
În matematică funcția identitate, sau aplicația identitate, sau transformarea identică, este o funcție a cărei valoare este egală cu cea a argumentului. Adică, pentru ca f să fie funcția identitate, egalitatea trebuie să fie valabilă pentru orice X.
Definiție
[modificare | modificare sursă]Formal, dacă M este o mulțime, funcția identitate f pe M este definită ca fiind funcția cu domeniul și codomeniul M care satisface
- pentru toate elementele X din M.[1]
În alte cuvinte, valorile funcției f(X) în M (codomeniul) sunt întotdeauna aceleași cu a elementului de intrare X din M (acum considerat domeniul de definiție). Funcția identitate pe M este evident o funcție injectivă, precum și o funcție surjectivă, ca urmare este o funcție bijectivă.[2]
Funcția identitate f pe M adesea este notată idM.
În teoria mulțimilor, unde o funcție este definită ca un anumit tip de relație binară, funcția identitate este dată de relația de identitate, sau diagonala lui M.[3]
Proprietăți algebrice
[modificare | modificare sursă]Dacă f : M → N este o funcție oarecare, atunci exprimă o compunere a funcțiilor(d). În particular, idM este elementul neutru al monoidului tuturor funcțiilor din M pe M.
Deoarece elementul neutru al monoidului este unic,[4] alternativ se poate defini funcția identitate pe M ca fiind acest element neutru. O astfel de definiție se generalizează în teoria categoriilor la conceptul unui morfism identitate, unde endomorfismul lui M nu este necesar să fie funcții.
Proprietăți
[modificare | modificare sursă]- În teoria numerelor funcția identitate pe mulțimea numerelor întregi pozitive este o funcție complet multiplicativă (înmulțirea cu 1).[5]
- Când se aplică spațiilor vectoriale, funcția identitate este o transformare liniară.[6]
- Într-un spațiu vectorial n-dimensional, funcția identitate este reprezentată de matricea unitate In, indiferent de bază.[7]
- Într-un spațiu metric identitatea este o Izometrie trivială. Un obiect fără nici o simetrie are ca grup de simetrie grupul trivial care conține doar această izometrie (tip de simetrie C1).[8]
- Într-un spațiu topologic funcția identitate este întotdeauna continuă.[9]
- Funcția identitate este idempotentă(d).[10]
Note
[modificare | modificare sursă]- ^ en Knapp, Anthony W. (), Basic algebra, Springer, ISBN 978-0-8176-3248-9
- ^ en Mapa, Sadhan Kumar (). Higher Algebra Abstract and Linear (ed. 11th). Sarat Book House. p. 36. ISBN 978-93-80663-24-1.
- ^ en Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. American Mathematical Society. . p. 92. ISBN 978-0-8218-1425-3.
...then the diagonal set determined by M is the identity relation...
- ^ en Rosales, J. C.; García-Sánchez, P. A. (). Finitely Generated Commutative Monoids. Nova Publishers. p. 1. ISBN 978-1-56072-670-8.
The element 0 is usually referred to as the identity element and if it exists, it is unique
- ^ en D. Marshall; E. Odell; M. Starbird (). Number Theory through Inquiry. Mathematical Association of America Textbooks. Mathematical Assn of Amer. ISBN 978-0883857519.
- ^ en Anton, Howard (), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (ed. 9th), Wiley International
- ^ en T. S. Shores (). Applied Linear Algebra and Matrix Analysis. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 978-038-733-195-9.
- ^ en James W. Anderson, Hyperbolic Geometry, Springer 2005, ISBN: 1-85233-934-9
- ^ en Conover, Robert A. (). A First Course in Topology: An Introduction to Mathematical Thinking. Courier Corporation. p. 65. ISBN 978-0-486-78001-6.
- ^ en Conferences, University of Michigan Engineering Summer (). Foundations of Information Systems Engineering.
we see that an identity element of a semigroup is idempotent.
