Spaţiu prehilbertian

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Interpretarea geometrică a produsului scalar

În matematică, un spaţiu prehilbertian este un spaţiu vectorial de dimensiune arbitrară (posibil chiar infinită) cu o structură adiţională, care, printre altele, permite generalizarea unor concepte din geometria euclidiană în două sau trei dimensiuni. Structura adiţională asociază fiecărei perechi de vectori din spaţiu un număr numit produs scalar al vectorilor. Produsul scalar permite introducerea cu rigurozitate a unor noţiuni geometrice intuitive cum ar fi unghiul între vectori sau lungimea vectorilor în spaţiile de orice dimensiune. De asemenea, permite introducerea conceptului de ortogonalitate între vectori. Spaţiile cu produs scalar generalizează spaţiile euclidiene şi sunt studiate în analiza funcţională.

Acest spaţiu cu produs scalar este numit spaţiu prehilbertian, deoarece completitudinea sa în raport cu metrica indusă de produsul său scalar este un spaţiu Hilbert.

Spaţiile prehilbertiene au fost numite şi spaţii unitare în lucrări mai vechi, dar acestă terminologie nu mai este folosită decât rar.

[modifică] Definiţie

Se notează grupul scalarilor cu F şi este fie grupul numerelor reale R sau cel al numerelor complexe C.

Un spaţiu prehilbertian este un spaţiu vectorial V peste F împreună cu o formă multiliniară pozitiv definită nedegenerată, numită produs scalar. Pentru spaţiile vectoriale reale, aceasta este chiar o formă biliniară simetrică pozitiv-definită nedegenerată. Astfel produsul scalar este

$\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{F}$

şi satisface următoarea axiomă pentru toate $x,y,z \in V, a,b \in \mathbb{F}$ :

Simetria conjugatei:

$\langle x,y\rangle =\overline{\langle y,x\rangle}.$

Această condiţie înseamnă că $\langle x,x\rangle \in \mathbb{R}$ , deoarece $\langle x,x\rangle = \overline{\langle x,x\rangle}$ .

(Conjugarea este adesea notată cu asterisc, astfel: $\langle y,x\rangle^{*}$ , ca şi conjugata transpusă.)

Liniaritatea în prima variabilă:

$\langle ax,y\rangle= a \langle x,y\rangle.$

$\langle x+y,z\rangle= \langle x,z\rangle+ \langle y,z\rangle.$

Combinând aceasta cu simetria conjugatei, se obţine:

$\langle x,by \rangle= \overline{b} \langle x,y\rangle.$

$\langle x,y+z\rangle= \langle x,y\rangle+ \langle x,z\rangle.$

Nenegativitatea:

$\langle x,x\rangle \ge 0.$

(Aceasta are sens pentru că $\langle x,x\rangle \in \mathbb{R}$ pentru toate $x\in V$ .)

Nedegenerarea:

$\langle x,x \rangle = 0$ implică

x = 0

.

Deci produsul scalar este o formă Hermitică nenegativă şi nedegenerată.

Proprietatea unui spaţiu prehilbertian $V$ ca

$\langle x+y,z\rangle= \langle x,z\rangle+ \langle y,z\rangle$ şi $\langle x,y+z\rangle = \langle x,y\rangle + \langle x,z\rangle$ este cunoscută ca aditivitate.

Se observă că dacă F=R, atunci proprietatea de simetrie a conjugatei este simplă simetrie a produsului scalar, adică

$\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle.$

Observaţie. Majoritatea autorilor matematicieni pun condiţia ca un produs scalar să fie liniar în primul argument şi conjugat-liniar în al doilea, conform convenţiei de mai sus. Mulţi fizicieni adoptă convenţia inversă. Această convenţie este nematerială, dar definiţia inversă furnizează o mai bună legătură cu notaţia bra-ket folosită de fizicieni în mecanica cuantică (permiţând scalarilor să rezulte direct din ket, care reprezintă vectori şi conjugând scalarii extraşi din bra, care reprezintă funcţionale liniare) şi acum este uneori folosită şi de matematicieni. Unii autori au adoptat convenţia că < , > este liniar în prima componentă şi < | > este liniar în a doua, deşi aceasta nu e o notaţie răspândită universal. De exemplu (Emch [1972]) nu urmează această convenţie.

Există varii motive tehnice pentru care este necesară restricţionarea mulţimilor de scalari la R şi C în definiţie. Pe scurt, grupul de bază trebuie să conţină un subgrup ordonat (pentru a avea sens noţiunea de nenegativitate) şi astfel trebuie să aibă caracteristica egală cu 0. Aceasta exclude automat grupurile finite. Grupul de bază trebuie să aibă şi structuri adiţionale, cum ar fi un automorfism.

[modifică] Exemple

Un exemplu trivial îl constituie numerele reale cu înmulţirea standard ca produs scalar

$\langle x,y\rangle := xy$

Mai general, orice spaţiu euclidian Rⁿ cu produsul scalar

$\langle (x_1,\ldots, x_n),(y_1,\ldots, y_n)\rangle := \sum_{i=1}^{n} x_i y_i = x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n$

Forma generală a unui produs scalar peste Cⁿ este dată de:

$\langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle := \mathbf{x}^*\mathbf{M}\mathbf{y}$

unde M este orice matrice pozitiv-definită, şi x^* este conjugata transpusă a lui x.

[modifică] Norma spaţiilor prehilbertiene

Spaţiile cu produs scalar au o normă naturală

$\|x\| =\sqrt{\langle x, x\rangle}.$

Aceasta este bine definită de axioma de nenegativitate din definiţia spaţiului cu produs scalar. Norma lui x este considerată ca lungime a vectorului x. Direct din axiome, putem demonstra următoarele:

Inegalitatea Cauchy-Schwarz: pentru x, y din V

$|\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|$

egalitatea apare dacă şi numai dacă x şi y sunt liniar dependente. Aceasta este una din cele mai importante inegalităţi din matematică. În literatura matematică rusească este cunoscută şi sub numele de Inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz.

Ortogonalitate: Interpreatarea geometrică a produsului scalar în termeni de unghi şi lungime motivează mare parte din terminologia geometrică folosită în ce priveşte aceste spaţii. Într-adevăr, o consecinţă imediată a inegalităţii Cauchy-Schwarz este că justifică definirea unghiului între doi vectori nenuli x şi y (cel puţin în cazul F = R) prin identitatea

$\operatorname{angle}(x,y) = \arccos \frac{\langle x, y \rangle}{\|x\| \cdot \|y\|}.$

Se presupune că valoarea unghiului este alesă în intervalul [0, +π]. Aceasta este analogă situaţiei din spaţiul euclidian cu 2 dimensiuni. Analog, spunem că doi vectori nenuli x, y din V sunt ortogonali dacă şi numai dacă produsul lor scalar este zero.

Omogenitatea: pentru x un element din V şi r un scalar

$\|r \cdot x\| = |r| \cdot \| x\|.$

Demonstraţia proprietăţii de omogenitate este trivială.

Inegalitatea triunghiului: pentru x, y din V

$\|x + y\| \leq \|x \| + \|y\|.$

Ultimele două proprietăţi arată că funcţia definită este într-adevăr normă.

Datorită inegalităţii triunghiului şi axiomei 2, vedem că ||·|| este o normă care transformă V într-un spaţiu vectorial normat şi astfel într-un spaţiu metric. Cele mai importante spaţii cu produs scalar sunt cele care sunt complete în raport cu această metrică; acestea se numesc spaţii Hilbert. Fiecare spaţiu prehibertian V este un subspaţiu dens al unui spaţiu Hilbert. Acest spaţiu Hilbert este unic determinat de V şi este construit prin completarea lui V.

Legea paralelogramului:

$\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2.$

Teorema lui Pitagora: Dacă x, y sunt în V şi <x, y> = 0, atunci

$\|x\|^2 + \|y\|^2 = \|x+y\|^2.$

Demonstraţiile ambelor identităţi necesită doar exprimarea definiţiei normei în termeni de produs real şi simplificare, folosind proprietatea de aditivitate a fiecărei componente. Numele de teorema lui Pitagora derivă din interpretarea geometrică a rezultatului ca fiind analogă cu teorema din geometrie. Se observă că demonstraţia teoremei lui Pitagora în geometrie este considerabil mai elaborată datorită lipsei de structuri utile.

Prin inducţie pe teorema lui Pitagora, rezultă:

Dacă x₁, ..., x_n sunt vectori ortogonali, adică <x_j, x_k> = 0 pentru indici diferiţi j, k, atunci

$\sum_{i=1}^n \|x_i\|^2 = \left\|\sum_{i=1}^n x_i \right\|^2.$

În lumina inegalităţii Cauchy-Schwarz, observăm şi că <·,·> este continuă din V × V pe F. Aceasta ne permite generalizarea teoremei lui Pitagora la infinit de mulţi termeni de sumă:

Identitatea lui Parseval: Presupunând că V este un spaţiu prehilbertian complet, dacă {x_k} sunt vectori ortogonali doi câte doi din V, atunci

$\sum_{i=1}^\infty\|x_i\|^2 = \left\|\sum_{i=1}^\infty x_i\right\|^2,$

dacă seria infinită din stânga este convergentă. Completitudinea spaţiului este necesară pentru a ne asigura că şirul de sume parţiale

$S_k = \sum_{i=1}^k x_i$

care este cunoscut ca fiind şir Cauchy este convergentă.

[modifică] Şiruri ortonormale

Un sir {e_k}_k este ortonormal dacă şi numai dacă este ortogonal şi e_k are norma 1. O bază ortonormală într-un spaţiu prehilbertian de dimensiune finită V este un şir ortonormal care generează V. Această definiţie a bazei ortonormale nu generalizează convenabil în cazul dimensiunilor infinite, unde conceptul (corect formulat) are o importanţă majoră. Folosind norma asociată cu produsul scalar, există noţiunea de submulţime densă, şi definiţia corectă pentru o bază ortonormală este cea că spaţiul generat de ea trebuie să fie dens.

Procedeul Gram-Schmidt este o metodă canonică care porneşte de la un şir liniar independent {v_k}_k pe un spaţiu prehilbertian şi produce un şir ortonormal {e_k}_k astfel încât oricare ar fi n

$\operatorname{span}\{v_1, \ldots, v_n\} = \operatorname{span}\{e_1, \ldots, e_n\}$

Prin procedura de ortonormalizare Gram-Schmidt, se arată:

Teoremă. Orice spaţiu prehilbertian separabil V are o bază ortonormală.

Identitatea lui Parseval conduce imediat la următoarea teoremă:

Teoremă. Fie V un spaţiu prehilbertian separabil şi {e_k}_k o bază ortonormală a lui V. Atunci aplicaţia

$x \mapsto \{\langle e_k, x\rangle\}_{k \in \mathbb{N}}$

este o aplicaţie liniară izometrică V → l² cu imaginea densă.

Această teoremă poate fi privită ca o formă abstractă a seriilor Fourier, în care o bază ortonormală arbitrară joacă rolul seriei de polinoame trigonometrice. Se observă că mulţimea de indecşi poate fi luată ca orice mulţime numărabilă. În particular, se obţine următorul rezultat din teoria seriilor Fourier:

Teoremă. Fie V spaţiul prehilbertian $C [ - π,π]$ . Atunci secvenţa (indexată pe mulţimea numerelor întregi) de funcţii continue

e k (t) = (2π) - 1 / 2 e i k t

este o bază ortonormală a spaţiului $C [ - π,π]$ cu L² ca produs scalar. Aplicaţia

$f \mapsto \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \left\{\int_{-\pi}^\pi f(t) e^{-i k t} \, dt \right\}_{k \in \mathbb{Z}}$

este o aplicaţie liniară izometrică cu imaginea densă.

Ortogonalitatea şirului {e_k}_k se deduce imediat din faptul că dacă j ≠ k, atunci

$\int_{-\pi}^\pi e^{-i (j-k) t} \, dt = 0$

Şirul este normal prin construcţia lui, pentru că are coeficienţii aleşi de aşa natură încât norma este 1. În cele din urmă, faptul că şirul generează un spaţiu dens, în norma produsului scalar, rezultă din faptul că şirul generează un subspaţiu dens în spaţiul funcţiilor periodice continue definite pe $[ - π,π]$ cu norma uniformă. Acesta este conţinutul teoremei lui Weierstrass privind densitatea uniformă a polinoamelor trigonometrice.

[modifică] Operatori în spaţiile prehilbertiene

Unele tipuri de aplicaţii liniare A dintr-un spaţiu cu produs scalar V în alt spaţiu cu produs scalar W au relevanţă:

Aplicaţii liniare continue, adică A este liniară şi continuă în raport cu metrica definită, sau echivalent, A este liniară şi mulţimea realilor nenegativi {||Ax||}, unde x ia valori în bila unitate închisă a lui V, este mărginită.
Operatori liniari simetrici, adică A este liniară şi <Ax, y> = <x, A y> oricare ar fi x, y din V.
Izometrii, adică A este liniară şi <Ax, Ay> = <x, y> pentru orice x, y din V, sau echivalent, A este liniară şi ||Ax|| = ||x|| pentru orice x din V. Toate izometriile sunt injective. Izometriile sunt morfisme între spaţii prehilbertiene, şi morfismele spaţiilor prehilbertiene reale sunt transformări ortogonale.
Izomorfisme izometrice, adică A este o izometrie surjectivă (şi deci bijectivă). Izomorfismele izometrice sunt cunoscute şi ca operatori unitari.

Din punctul de vedere al teoriei spaţiilor cu produs scalar, nu este necesară distincţia între două spaţii izometric izomorfe. Teorema spectrală furnizează o formă caninică pentru operatorii normali simetrici şi unitari peste spaţiile prehilbertiene finite. O generalizare a teoremei spectrale este valabilă pentru operatorii normali continui din spaţiile Hilbert.

[modifică] Bibliografie

S. Axler, Linear Algebra Done Right, Springer, 2004
G. Emch, Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory, Wiley Interscience, 1972.
N. Young, An Introduction to Hilbert Spaces, Cambridge University Press, 1988

Spaţiu prehilbertian

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Cuprins

[modifică] Definiţie

[modifică] Exemple

[modifică] Norma spaţiilor prehilbertiene

[modifică] Şiruri ortonormale

[modifică] Operatori în spaţiile prehilbertiene

[modifică] Bibliografie

Vizualizări

Unelte personale

Navigare

participare

Căutare

Trusa de unelte

În alte limbi