Formă biliniară

Fie V un spațiu vectorial peste corpul K. Se numește formă biliniară pe spațiul vectorial V o aplicație $g: V \times V \rightarrow K, \!$ care satisface condițiile:

1) $g(\alpha x + \beta y, \; z) = \alpha g(x, z) + \beta g (y, z); \!$

2) $g(x, \; \alpha y + \beta y) = \alpha g(x, y) + \beta g (x, z); \!$

$\forall x, y, z \in V \!$ și $\forall \alpha, \beta \in K. \!$

Cu alte cuvinte, o formă biliniară este o aplicație $g: V \times V \rightarrow K, \!$ liniară în ambele argumente.

Mulțimea formelor biliniare definite pe spațiul vectorial V formează un spațiu vectorial peste K, în raport cu operațiile de adunare și înmulțire a funcțiilor.

Exemplu

Produsul scalar canonic pe spațiul vectorial $\mathbb R^n. \!$

$\langle , \rangle: \mathbb R^n \times \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^n, \!$ având în baza canonică $B = \{ e_1, e_2, \cdots , e_n \} \!$ expresia analitică $\langle x, y \rangle = x_1y_2 + x_2y_2 + \cdots + x_n y_n, \!$ este o formă biliniară.

Formă biliniară simetrică, respectiv antisimetrică

O formă biliniară $g: V \times V \rightarrow K \!$ se numește

a) simetrică dacă $g(x, y) = g(y, x), \; \forall x, y \in V; \!$

b) antisimetrică dacă $g(x, y) = - g (y, x), \; \forall x, y \in V. \!$

Cazul spațiului n-dimensional

Fie $V_n \!$ un spațiu vectorial n-dimensional, $B = \{ e_1, e_2, \cdots , e_n \} \!$ o bază în spațiul vectorial $V_n \!$ și doi vectori oarecare $x = \sum_{i=1}^n x_i e_i \!$ și $y = \sum_{i=1}^n y_i e_i. \!$

Expresia formei biliniare g, pentru vectorii x și y, va fi dată de:

$g(x, y) = g (\sum_{i=1}^n x_i e_i, \; y) = \sum_{i=1}^n x_i g(e_i, y) = \!$

$= \sum_{i=1}^n x_i g(e_i, \; \sum_{j=1}^n y_j e_j) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n y_j g(e_i, e_j) = \!$

$= \sum_{1 \le i, j \le n} a_{i, j} x_i y_j. \!$

unde s-a notat: $a_{ij} = g(e_i, e_j), \; i, j = 1, 2, \cdots , n. \!$

Vezi și

• Formă pătratică
• Spațiu metric

Legături externe

• en Wolfram MathWorld
• fr Math.Unice.fr