Spațiu vectorial normat

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Un spațiu vectorial normat, numit pe scurt spațiu normat, este un spațiu vectorial real sau complex X pe care este definită o funcție, \|\cdot\|:X\to [0,\infty), numită normă având următoarele proprietăți:

  • este pozitiv definită: \|x\|=0 dacă și numai dacă x=0,
  • \|\alpha x\|=|\alpha| \|x\| pentru orice vector x\in X și pentru orice scalar \alpha\in\mathbb{R} sau \alpha\in\mathbb{C}
  • \|x+y\|\leq\|x\|+\|y\|, \forall x,y\in X

Norma definește o distanță d(x,y)=\|x-y\|. Astfel, orice spațiu normat este spațiu metric.

Un spațiu normat în care orice șir Cauchy este convergent se numește spațiu Banach.