Spațiu vectorial normat

Un spațiu vectorial normat , numit pe scurt spațiu normat este un spațiu vectorial real sau complex $X$ pe care este definită o funcție, $\|\cdot\|:X\to [0,\infty)$, numită normă având următoarele proprietăți:

• este pozitiv definită: $\|x\|=0$ dacă și numai dacă $x=0$,
• $\|\alpha x\|=|\alpha| \|x\|$ pentru orice vector $x\in X$ și pentru orice scalar $\alpha\in\mathbb{R}$ sau $\alpha\in\mathbb{C}$
• $\|x+y\|\leq\|x\|+\|y\|$, $\forall x,y\in X$

Norma definește o distanță $d(x,y)=\|x-y\|$. Astfel, orice spațiu normat este spațiu metric.

Un spațiu normat în care orice șir Cauchy este convergent se numește spațiu Banach