Paralelism

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În geometrie, paralelismul se referă la o proprietate, în cadrul unui spațiu euclidian, a două sau mai multe subspații (de exemplu, drepte sau plane). Presupusa existență și proprietățile dreptelor paralele formează baza axiomei paralelelor a lui Euclid. Două drepte într-un plan care nu se pot intersecta se numesc drepte paralele. Analog, într-un spațiu tridimensional, o dreaptă și un plan sau două plane pot fi paralele; în general, într-un spațiu euclidian n-dimensional, un spațiu m-dimensional și un spațiu n−1-dimensional (cu m \leq n - 1) sunt paralele dacă nu au vectori în comun.

În spații neeuclidiene, dreptele paralele sunt cele care se intersectează doar la limită la infinit.

Simbol[modificare | modificare sursă]

Simbolul pentru paralelism este \parallel . De exemplu, AB \parallel CD arată că dreapta AB este paralelă cu dreapta CD.

În setul de caractere Unicode, semnele „paralel” și „neparalel” sunt alocate codurilor U+2225 (∥) și respectiv U+2226 (∦).

Paralelism euclidian[modificare | modificare sursă]

Aşa cum arată marcajele, dreptele a şi b sunt paralele. Aceasta se poate demonstra arătând că secanta t produce unghiuri congruente.

Date fiind dreptele l și m, următoarele descrieri pentru m o definesc echivalent ca paralelă la dreapta l într-un spațiu euclidian:

  1. Toate punctele de pe dreapta m se află la exact aceeași distanță minimă de dreapta l (drepte echidistante).
  2. Dreapta m se află în același plan ca dreapta l dar nu se intersectează cu l (chiar și presupunând că dreptele se extind până la infinit în ambele direcții).
  3. Dreptele m și l sunt intersectate de o a treia dreaptă (o secantă) din același plan, iar unghiurile corespunzătoare intersecției cu secanta sunt egale. (Această afirmație este echivalentă cu axioma paralelelor a lui Euclid.)

Cu alte cuvinte, dreptele paralele trebuie să se afle în același plan, iar planele paralele trebuie să se afle în același spațiu tridimensional. O dreaptă poate fi paralelă cu un plan în același spațiu tridimensional.

Construcție[modificare | modificare sursă]

Cele trei definiții de mai sus duc la trei metode diferite de construire a dreptelor paralele.

Problemă: Trageţi o dreaptă prin a paralelă la l.


O altă definiție a dreptelor paralele utilizată frecvent este aceea că două drepte sunt paralele dacă nu se intersectează, dar aceasta este valabilă doar într-un spațiu bidimensional.

Distanța între două drepte paralele[modificare | modificare sursă]

Întrucât o dreaptă paralelă este o dreaptă formată din puncte aflate la aceeași distanță față de cealaltă, atunci există o unică distanță între cele două drepte paralele. Date fiind ecuațiile a două drepte paralele neverticale:

y = mx+b_1\,
y = mx+b_2\,


distanța între cele două drepte se poate găsi rezolvând sistemul de ecuații liniare:

y = mx+b_1\,
y = -x/m\,

și sistemul:

y = mx+b_2\,
y = \frac{-x}{m}\,

pentru a obține coordonatele picioarelor unei perpendiculare pe cele două drepte. Soluția sistemelor este:

x_1\ = \frac{-b_1m}{m^2+1}\,
y_1\ = \frac{b_1}{m^2+1}\,
x_2\ = \frac{-b_2m}{m^2+1}\,
y_2\ = \frac{b_2}{m^2+1}\,

Introducând în formula distanței euclidiene rezultă:

d = \sqrt{\left(\frac{b_1m-b_2m}{m^2+1}\right)^2 + \left(\frac{b_2-b_1}{m^2+1}\right)^2}\,

...

d = \sqrt{\frac{(b_2-b_1)^2}{m^2+1}}\,
d = \frac{|b_2-b_1|}{\sqrt{m^2+1}}\,

adică:

d = \frac{|b_2-b_1|}{m^2+1}\sqrt {m^2+1}.

De asemenea, dacă cele două drepte sunt

ax+by+c_1=0\,
ax+by+c_2=0\,

atunci distanța între ele poate fi formulată astfel:

d = \frac{|c_2-c_1|}{\sqrt {a^2+b^2}}.