Sari la conținut

Inducție matematică

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Inducţia matematică poate fi asemănată efectului căderii pieselor de domino.

Inducția matematică („raționamentul prin recurență” sau „inducția completă infinită”) este o modalitate de demonstrație utilizată în matematică pentru a stabili dacă o anumită propoziție este valabilă pentru un număr nelimitat de cazuri, contorul cazurilor parcurgând toate numerele naturale.

Primele semne de utilizare a acestei metode pot fi găsite în demonstrația lui Euclid care încearcă să arate că numărul numerelor prime este infinit.[1][2]

În cadrul matematicii indiene, o metodă similară se găsește la matematicianul Bhaskara, așa-numita metodă chakravala.[3]

În jurul anului 1000 d.Hr., se regăsește, la matematicianul persan Al-Karaji[4] (c. 953 - c. 1029), aplicarea metodei inducției la determinarea coeficienților binomiali (la ceea ce mai târziu avea să se numească binomul lui Newton), la studiul triunghiului lui Pascal.

Matematicianul islamic Ibn Al-Haytham (965 - 1039) aplică această metodă la calculul unor puteri cu exponent număr întreg.

Musulmanul Al-Maghribī al-Samaw'al (c. 1130 - c. 1180) utilizează inducția, într-o formă asemănătoare celei moderne, ducând mai departe studiile lui Al-Karaji privind triunghiul lui Pascal.

Prima expunere cu adevărat riguroasă a principiului inducției apare la matematicianul italian Francesco Maurolico (1494 - 1575).[5] Acesta, în lucrarea Arithmeticorum libri duo (1575), demonstrează că suma primelor n numere impare este .

Principiul inducției complete a fost descoperit și de Jakob Bernoulli (1713), Pascal (1653) și Fermat.

Demonstrația prin inducție că propoziția pentru orice se compune din doi pași:

  1. Cazul inițial: demonstrarea faptului că propoziția este valabilă pentru .
  2. Pasul de inducție: Se dovedește că, pentru orice natural, implică .

Să demonstrăm formula utilizată pentru suma primelor n numere naturale:

  • Inițializare:
pentru     avem:   .

Formula este verificată în cazul inițial.

  • Iterare:

Trebuie să arătăm că, dacă formula este valabilă pentru , atunci este valabilă și pentru   .

Să presupunem formula valabilă pentru  :

.

Adăugând la ambii membri , obținem:

.

Calculând, obținem:

.

Astfel am arătat că:

.

Să calculăm suma primelor numere impare:

.


.

Ajungem la presupunerea: Suma primelor numere impare, de la 1 până la este ,   adică:

.

Pentru a dovedi acest lucru prin metoda inducției complete, trebuie să demonstrăm că:

1.
2. Dacă , atunci .

Primul punct e simplu de dovedit. Pentru cel de-al doilea folosim identitățile:

.
  1. ^ (1994) "Could the Greeks Have Used Mathematical Induction? Did They Use It?" Physis XXXI. p. 253-265.
  2. ^ Ungure, S. (1991) "Greek Mathematics and Mathematical Induction" Physis XXVIII, p. 273-289.
  3. ^ Metoda consta într-un algoritm ciclic de rezolvare a ecuațiilor pătratice nedeterminate.
  4. ^ Rashed, Roshdi (1972). "L'induction mathématique: al-Karajī, as-Samaw'al". Archive for History of Exact Science 6, p. 237-248. Vezi și[nefuncțională]
  5. ^ Vezi The Maurolico Project

Legături externe

[modificare | modificare sursă]