Spațiu funcțional

În matematică, un spațiu funcțional este o mulțime de funcții cu același domeniu și codomeniu fixe. Adesea, domeniul și/sau codomeniul vor avea o structură suplimentară care este moștenită de spațiul funcțional. De exemplu, funcțiile definite pe orice mulțime X cu valori într-un spațiu vectorial au o structură naturală de spațiu vectorial, dată de adunarea pe puncte și de înmulțirea cu un scalar. În alte scenarii, spațiul funcțional ar putea moșteni o structură topologică sau metrică, prin urmare, de unde denumirea de spațiu funcțional.

În algebra liniară

Adunarea funcțiilor: Suma funcției sinus cu exponențiala este ${\textstyle sin+exp:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$cu ${\textstyle (sin+exp)(x)=sin(x)+exp(x)}$

Fie V un spatiu vectorial peste un corp F și fie X o mulțime. Funcțiile definite pe X cu valori în V pot primi structura de spațiu vectorial peste F unde operațiile sunt definite pe puncte, adică pentru orice f,g: X → V , orice x din X și orice c din F, se definește

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$

$(c\cdot f)(x)=c\cdot f(x)$

Atunci când domeniul X are o structură suplimentară, s-ar putea lua în considerare în schimb submulțimea (sau subspațiul^⁠(d)) tuturor acestor funcții care respectă structura respectivă. De exemplu, dacă X este și spațiu vectorial peste F, mulțimea aplicațiilor liniare X → V formează un spațiu vectorial peste F cu operații pe puncte (adesea notate Hom(X, V)). Un astfel de spațiu este spațiul dual^⁠(d) al lui V: mulțimea formelor lineare^⁠(d) V → F cu adunarea și înmulțirea cu scalar definite pe puncte.

Exemple

Spațiile funcționale apar în diferite domenii ale matematicii:

• În teoria mulțimilor, mulțimea funcțiilor definite pe X cu valori în Y poate fi notată X → Y sau Y ^X.
  • Ca un caz special, mulțimea părților^⁠(d) unei mulțimi X poate fi identificată cu mulțimea tuturor funcțiilor de la X la {0, 1}, notată 2^X.
• Mulțimea bijecțiilor de la X la Y este notată cu ${\textstyle X\leftrightarrow Y}$. Notatia factorial X! poate fi utilizată pentru permutările unei singure mulțimi X.
• În analiza funcțională^⁠(d) se observă aceleași lucru pentru transformări liniare continue, incluzând topologii pe spațiile vectoriale^⁠(d), iar multe dintre exemplele majore sunt spații funcționale care au o topologie; cele mai cunoscute exemple sunt spațiile Hilbert și spațiile Banach.
• În analiza funcțională^⁠(d) mulțimea tuturor funcțiilor definite pe numerele naturale cu valori într-o anumită mulțime X se numesc spațiu de șir^⁠(d). Se compune din mulțimea tuturor șirurilor posibile ale elementelor lui X.
• În topologie, se poate încerca să se aplice o topologie pe spațiul funcțiilor continue definite pe un spațiu topologic X cu valori în altul Y, utilitatea depinzând de natura spațiilor. Un exemplu utilizat în mod obișnuit este topologia compactă deschisă^⁠(d), cum ar fi spațiul buclă^⁠(d). Există și topologia produsului^⁠(d) pe spațiul funcțiilor din teoria mulțimilor (adică nu neapărat funcții continue) Y^X. În acest context, această topologie este denumită și topologia convergenței punctuale.
• În topologia algebrică^⁠(d), studiul teoriei homotopiei^⁠(d) este în esență cel al invarianților discreți ai spațiilor funcționale;
• În teoria proceselor stohastice, problema tehnică de bază este cum să se construiască o măsură de probabilitate^⁠(d) pe un spațiu funcțional al căilor procesului (funcții de timp);
• În teoria categoriilor, spațiul funcțional se numește obiect exponențial^⁠(d) sau obiect de aplicații^⁠(d). Apare într-un fel ca reprezentare a bifunctorului canonic^⁠(d); dar și ca functor (simplu), de tip [ X , -], apare ca functor adjunct^⁠(d) al unui functor de tip (-×X) pe obiecte;
• În programarea funcțională și calculul lambda^⁠(d), tipurile funcțiilor^⁠(d) sunt folosite pentru a exprima ideea de funcțională^⁠(d).
• În teoria domeniilor^⁠(d), ideea de bază este de a găsi construcții din ordini parțiale^⁠(d) care pot să modeleze calculul lambda, creând o categorie carteziană închisă^⁠(d) cu comportament favorabil.
• În teoria reprezentării grupurilor finite^⁠(d), date fiind două reprezentări finit-dimensionale V și W ale unui grup G, se poate forma o reprezentare a lui G peste spațiul vectorial al aplicațiilor liniare Hom(V,W), numită reprezentarea Hom^⁠(d).

Analiza funcțională

Analiza funcțională^⁠(d) este organizată în jurul tehnicilor adecvate pentru a aduce spațiile de funcții ca spații vectoriale topologice^⁠(d) la îndemâna ideilor care se vor aplica spațiilor normate de dimensiune finită.

• Spațiul Schwartz^⁠(d) de funcții indefinit derivabile rapid descrescătoare și distribuțiile lor temperate^⁠(d) duale
• Spațiul Lp
• ${\textstyle C(\mathbf {R} )}$$C(\mathbf {R} )$ funcții continue înzestrate cu topologia normei uniforme
• $C_{C}(\mathbf {R} )$funcții continue pe suport compact^⁠(d)
• $B(\mathbf {R} )$${\textstyle B(\mathbf {R} )}$ funcții mărginite
• ${\textstyle C_{0}(\mathbf {R} )}$ funcții continue care dispar la infinit
• ${\textstyle C^{r}(\mathbf {R} )}$ funcții continue cu primele r derivate continue.
• ${\textstyle C^{\infty }(\mathbf {R} )}$ funcții indefinit derivabile
• $C_{C}^{\infty }(\mathbf {R} )$ funcții indefinit derivabile cu suport compact^⁠(d)
• ${\textstyle D(\mathbf {R} )}$ suport compact pe topologia marginii
• ${\textstyle W^{k,p}}$ spațiu Sobolev^⁠(d)
• ${\textstyle {\mathcal {O}}_{U}}$funcții olomorfe
• funcții liniare
• funcții liniare pe porțiuni
• funcții continue, topologie compactă deschisă
• toate funcțiile, spațiul convergenței punctuale
• spațiul Hardy^⁠(d)
• spațiul Hölder^⁠(d)
• funcțiile càdlàg function^⁠(d), cunoscute și sub numele de spațiul Skorohod^⁠(d)

Normă

Dacă y este un element al spațiului funcțional ${\mathcal {C}}(a,b)$ al tuturor funcțiile continue care sunt definite pe un interval închis [a, b], norma $\|y\|_{\infty }$definită pe ${\mathcal {C}}(a,b)$ este valoarea absolută maximă a lui y (x) pentru a ≤ x ≤ b ,

$\|y\|_{\infty }\equiv \max _{a\leq x\leq b}|y(x)|\qquad {\text{unde}}\ \ y\in {\mathcal {C}}(a,b)\,.$

Bibliografie

• Kolmogorov, AN, și Fomin, SV (1967). Elemente ale teoriei funcțiilor și analizei funcționale. Curierul Dover Publicații.
• Stein, Elias; Shakarchi, R. (2011). Analiza funcțională: o introducere în alte subiecte în analiză. Princeton University Press.