Interval (matematică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Interval este un termen de bază al algebrei și analizei matematice. Acesta este o mulțime care conține toate numerele reale situate între două numere reale date.

Definiție[modificare | modificare sursă]

Cazul numerelor reale[modificare | modificare sursă]

Fie  a, b \in \mathbb{R}  .

  • Se definește intervalul deschis de extremități    a, b \, :
 (a, b) = \{ x \in \mathbb{R} ; a < x < b \} .
  • Se definește intervalul închis de extremități    a, b \, :
 [a, b] = \{ x \in \mathbb{R} ; a \le x \le b \}
  • Se mai poate defini intervalul închis la un capăt și deschis la celălalt:
 [a, b ) = \{ x \in \mathbb{R} ; a \le x < b \}
 (a, b] = \{ x \in \mathbb{R} ; a < x \le b \}
  • Intervale extinse
    • nemărginite la stânga:
 (-\infty, a) = \{ x \in \mathbb{R} ; x < a \}
 (-\infty, a] = \{ x \in \mathbb{R} ; x \le a \}
    • nemărginite la dreapta:
 (a, +\infty) = \{ x \in \mathbb{R} ; a < x \}
 [a, +\infty) = \{ x \in \mathbb{R} ; a \le x \}
    • Dreapta reală:
 \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)
  • Intervale degenerate:
 (a, a) = \varnothing ,   mulțimea vidă
 [a, a] = \{ a \} , mulțimea cu elementul  a \,

Generalizare pentru spații topologice[modificare | modificare sursă]

În cadrul topologiei, intervalele pot fi generalizate la mulțimi conexe. Intervalele deschise devin mulțimi deschise, iar cele închise devin mulțimi închise.

Intervalele mărginite și închise sunt compacte.

Aplicații și proprietăți[modificare | modificare sursă]

Intervalele au proprietăți interesante în cazul continuității și derivabilității:

  • Imaginea unei funcții continue pe un interval real este un interval real (teorema valorilor intermediare).
  • O funcție derivabilă pe un interval, a cărei derivată este identic nulă, este constantă pe acel interval.
  • O funcție derivabilă este monotonă pe un interval dacă și numai dacă derivata sa are semn constant pe acel interval.

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
  • Rogai, E. - Tabele și formule matematice, Editura Tehnică, București, 1984
  • Ion, I.D. - Algebră pentru perfecționarea profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]