Funcții p-sumabile și funcții local p-sumabile

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Spațiile L^{p}(\Omega) și L_{loc}^{p}(\Omega), (1\leq p\leq \infty)[modificare | modificare sursă]

Fie \Omega o mulțime deschisă din \mathbb{R}^n și \mathbb{K} un corp. Notăm cu \Sigma=\Sigma(\Omega) tribul borelian al părților boreliene din \Omega, iar dx este restricția măsurii lui Lebesgue n-dimensionale din \mathbb{R}^n la \Omega, atunci prin definiție L^{p}(\Omega) este L^{p}(\Omega,\Sigma, dx). Vom considera pe spațiul L^{p}(\Omega) norma

||f||_p=\left(\int|f(x)|^p dx\right)^{1/p},

care induce metrica d(f,g)=\left(\int|f(x)-g(x)|^{p}dx\right)^{1/p} și față de care L^{p}(\Omega) este un spațiu complet. Prin L_{loc}^{p}(\Omega) vom înțelege mulțimea funcțiilor cu valori în \mathbb{K}, care sunt p-sumabile pe orice compact din \Omega. Elementele din L_{loc}^{p}(\Omega) le vom numi funcții local p-sumabile. Rezultă imediat că L_{loc}^{p}(\Omega) este un spațiul liniar cu operațiile de adunare și înmulțire cu scalari a funcțiilor. L_{loc}^{p}(\Omega) devine un spațiu local convex separat cu sistemul de seminorme \{s_{K}^{p}\}_{K\subset\Omega}, unde K parcurge compactele din \Omega și

s_{K}^{p}(f)=\left(\int_{K}|f(x)|^p dx\right)^{1/p}, f\in L^{p}(\Omega).

Este ușor de verificat că pentru o exhaustiune {\{K_m\}}_m cu compacte a lui \Omega, sistemul \{s_{K_m}^{p}\}_{m\in\mathbb{N}} de seminorme este crescător și generează topologia local convexă inițială pe L_{loc}^{p}(\Omega). De aici rezultă că L_{loc}^{p}(\Omega) este metrizabil. Dacă f\in L^{p}(\Omega) și K este un compact oarecare în \Omega, din relația

\int_{K}|f(x)|dx\le \left(\int_{\Omega}|f(x)|^p dx\right)^{1/p}\left(\int_{K}1dx\right)^{1/p'}, \left(\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1\right)

rezultă că L^{p}(\Omega) pentru orice n\ge 1.
Punem în evidență organizarea lui L^{1}=L^{1}(\mathbb{R}^n) ca algebră Banach.


TEOREMA 1. Fie f, g\in L^{1}. Atunci pentru orice y\in \mathbb{R}^n, funcția x\rightarrow f(x)g(y-x) este în L^{1}. Convoluția f * g definită prin:

(f * g)(y)=\int f(x)g(y-x)dx\quad (1)

este de asemenea o funcție din L^{1} și în plus

||f * g||_{1}\leq ||f||_{1} * ||g||_{1}.\quad (2)

Cu convoluția funcțiilor ca înmulțire, L^{1} devine o algebră Banach.
Demonstrație. Pentru funcția măsurabilă pozitivă |f(x)||g(y-x)|, integrala iterată

\int\left(\int |f(x)||g(y-x)|dy\right)dx,\quad (3)

este evident egală cu ||f||_{1}\cdot ||g||_{1}. Așadar, conform teoremei lui Fubini pentru funcții măsurabile pozitive, rezultă că există și cealaltă integrală iterată și este egală cu integrala (3), deci în particular |f(x)||g(y-x)| este sumabilă ca funcție de x, integrala sa este măsurabilă ca funcție de y și are integrala finită. Rezultă că f(x)g(y-x) este absolut sumabilă și

\int\left|\int f(x)g(y-x)dx\right|dy\leq \int\left(\int |f(x)||g(y-x)|dx\right)dy=||f||_{1}\cdot ||g||_{1},

ceea ce înseamnă ||f * g||_{1}\leq ||f||_{1}||g||_{1}. Comutativitatea convoluției rezultă simplu printr-o schimbare de variabilă în integrala (1), iar asociativitatea în modul următor

(f * (g * h))(x)=((h * g) * f)(x)=\int (h * g)(y)f(x-y)dy
=\int\left(\int h(z)g(y-z)dz\right)f(x-y)dy=\int\left(\int g(y-z)f(x-y)dy\right)h(z)dz
=\int\left(\int f(x-y)g(x-z-(x-y))dy\right)h(z)dz=\int (f * g)(x-z)h(z)dz
=((f * g) * h)(x). \quad (4)

În a patra egalitate de sus am utilizat teorema generală a lui Fubini de intervertire a ordinii de integrare. Penultima egalitate s-a obținut prin schimbarea de variabilă în integrala interioară: x-y=u. Distributivitatea convoluției față de adunare rezultă din liniaritatea integralei (1) prin raport cu f, cât și prin raport cu g. Cu aceasta L^{1} devine algebră Banach.
TEOREMA 2. Fie f\in L^{1} și g\in L^{p}(\mathbb{R}^n), \quad (1\leq p< \infty). Atunci (f * g)(y) este definită printr-o integrală de tipul (1) pentru aproape orice y\in\mathbb{R}^n, f * g\in L^{p} și

||f * g||_{p}\leq ||f||_{1} \cdot ||g||_{p} \quad (5).

Demonstrație. Pentru p=1 rezultatul este conținut în teorema precedentă.
Fie deci p>1 și p' ca de obicei conjugatul lui p. Din inegalitatea lui Hölder avem:

\int|f(x)|^{1/p}|g(y-x)||f(x)|^{1/p'}dx\leq\left(\int|f(x)||g(y-x)|^{p}dx\right)^{1/p'},

de unde, cum |g|^{p}\in L^{1}, cu teorema precendentă deducem că f * g este definită și finită pentru orice y\in\mathbb{R}^n și de asemenea rezultă că

|(f * g)(y)|^{p}\leq\left(\int |f(x)||g(y-x)|^{p}dx\right)||f||_{1}^{p/p'}.

Integrând ultima inegalitate și aplicând teorema lui Fubini obținem

||f * g||_{p}^{p}\leq ||g_{x}||_{p}^{p}\cdot ||f||_{1}||f||_{1}^{p/p'},

de unde cu ||g||_{p}=||g_{x}||_{p}, obținem (5).
Cu TEOREMA 2 semnalăm că aplicațiile f\mapsto f * g și g\mapsto f * g sunt liniare și continue de la L^{1}, respectiv L^{p} la L^{p}. În acest fel cu convoluția ca operație externă, L^{p} se organizează ca modul Banach peste algebra Banach L^{1}.

References[modificare | modificare sursă]

D. GAȘPAR, P. GAȘPAR, Analiză funcțională, Ed.de Vest, Timișoara, 2009

Legături externe[modificare | modificare sursă]