Număr prim

Un număr prim este un număr natural care are exact doi divizori: numărul 1 și numărul în sine. Cel mai mic număr prim este 2, în afară de 2 toate numerele prime sunt numere impare.

Un număr natural p > 1 se numește prim^[1] dacă : p | ab atunci p | a sau p | b, unde a, b sunt numere naturale.

De exemplu 15 | 9 ^. 5, dar 15 $\nmid$ 9, 15 $\nmid$ 5, adică 15 nu este număr prim.

Aceasta este o proprietate esențială a numerelor prime, iar cele două definiții sunt echivalente pentru inelul $({\mathbb{Z}},+,\cdot)$, dar nu sunt echivalente în orice inel integru.

• În anul 300 î.Hr. Euclid a demonstrat că există o infinitate de numere prime. Iată demonstrația: presupunând prin absurd că p ar fi cel mai mare număr prim, construim numărul n=2x3x5x......xp+1. Acesta nu se divide cu nici unul din numerele 2, 3, 5, ....., p, așadar sau este prim, sau are un divizor prim mai mare ca p, ceea ce contrazice presupunerea că p ar fi cel mai mare număr prim.
• Nu se știe dacă există o infinitate de numere prime gemene (impare consecutive ca: [3, 5]; [41, 43]; [59, 61]; [101, 103] etc.).
• Șirul numerelor prime începe cu 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43...
• Descompunerea în factori primi: orice număr natural n, n > 1 poate fi descompus în mod unic (până la o permutare a factorilor) ca produs finit de numere prime, și putem scrie $n = p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r}$ descompunerea în factori primi distincți ai lui n unde $p_j , j=\overline{1,r}$ sunt numere prime distincte.^[2]
  • Exemplu : $\ 120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$.
  • Pentru numerele întregi avem $n =\eta \cdot p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r}$ , unde $\eta \in { \lbrace{-1 , 1} \rbrace}$.
• Teorema lui Dirichlet: În progresia aritmetică a, a+q, a+2q, a+3q..., a+nq, .., cu a>0, q>0, numere naturale prime între ele există o infinitate de numere prime. Demonstrații elementare există pentru progresiile 4n+1 și 4n+3, iar cazul general are o demostrație elementară foarte lungă, iar altele sunt neelementare.^[3]
• Postulatul lui Bertrand: Dacă n > 1 este un număr natural atunci există un număr prim p cuprins între n și 2n, adică n < p < 2n.
• Conjectura lui Andrica: Diferența radicalilor a două numere prime consecutive este întotdeauna mai mică decât 1 (enunțată de Dorin Andrica, profesor la Universitatea Babeș-Bolyai)

Vezi și

• Teorema numerelor prime
• Numere prime între ele

Legături externe

• Prime number calculator - Check prime number, find next largest and next smallest prime numbers of a number
• Pagina numerelor prime — http://primes.utm.edu/
• MacTutor history of prime numbers
• Prime Number Generator - Generate a given number of primes above a given start number.
• Primele 15, 000, 000 numere prime
• The prime puzzles
• An English translation of Euclid's proof that there are infinitely many primes
• Primes de la WIMS online generator de numere prime
• Number Spiral with prime patterns
• An Introduction to Analytic Number Theory, by Ilan Vardi and Cyril Banderier
• Factorizer Windows software to find prime numbers and pairs of prime numbers less than 2,147,483,646.
• Huge database of prime numbers
• EFF Cooperative Computing Awards
• Cel mai mare număr prim cunoscut !
• Numere prime - mathworld

Note

1. ^ I.D. Ion ș.a. "Algebra pentru perfecționarea profesorilor" E.D.P. București,1983, p. 77 , 152.
2. ^ I.D. Ion ș.a. "Algebra pentru perfecționarea profesorilor" E.D.P. București,1983, p. 77 , 152.
3. ^ I. Creangă ș.a., "Introducere în teoria numerelor", E.D.P. București,1965.