Funcție olomorfă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În analiza complexă, o funcție complexă este olomorfă într-un punct al planului complex dacă este complex derivabilă într-o vecinătate a punctului. O asemenea funcție poate fi olomorfă și pe o întreagă mulțime deschisă din planul complex dacă este olomorfă în fiecare punct din mulțime.

Definiție[modificare | modificare sursă]

Fie o submulțime deschisă, nevidă, conexă a lui .

Funcția este complex derivabilă într-un punct dacă există limita:

.

În cazul în care funcția este complex derivabilă în fiecare punct din vecinătatea lui , aceasta se numește funcție olomorfă în punctul .

Noțiunea de olomorfie extinde deci noțiunile de derivabilitate și continuitate din analiza reală în cea complexă.

Termenul[modificare | modificare sursă]

Termenul olomorf este un neologism derivat de la rădăcinile grecești ὅλος (holos), cu înțelesul de "întreg", și μορφή (morphē), cu înțelesul de "formă" sau "înfățișare".[1]

Același înțeles cu funcție olomorfă îl au și sintagmele funcție analitică sau "funcție regulată".

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Funcțiile olomorfe alcătuiesc obiectul de studiu principal al analizei complexe, având o serie proprietăți utile.

Ecuațiile Cauchy-Riemann[modificare | modificare sursă]

O proprietate a oricărei funcții olomorfe este îndeplinirea ecuațiilor diferențiale Cauchy-Riemann, care sunt necesare și suficiente pentru ca funcția să fie olomorfă. Pentru fiecare funcție olomorfă , având părțile reale și imaginare deci definite la rândul lor ca funcțiile reale și , rezultă:

și

Funcții armonice[modificare | modificare sursă]

O altă proprietate importantă este, că pentru aceeași funcție , atât cât și sunt funcții armonice, adică derivatele de ordinul doi după fiecare variabilă dependentă însumate dau zero. Pentru prescurtare se folosește adesea operatorul Laplace ():

și

Exemple[modificare | modificare sursă]

Luând ca exemplu funcția complexă se poate verifica olomorfia pe întreaga mulțime a numerelor complexe verificând proprietățile de mai sus.

Ecuațiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite:

și

Atât cât și sunt funcții armonice:

și

Note[modificare | modificare sursă]

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Stoilow, S. - Teoria funcțiilor de o variabilă complexă, București, 1954
  • Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
  1. ^ Markushevich, A.I.; Silverman, Richard A. (ed.) (2005) [1977]. Theory of functions of a Complex Variable (ed. 2nd ed.). New York: American Mathematical Society. p. 112. ISBN 0-8218-3780-X. http://books.google.com/books?id=H8xfPRhTOcEC&dq 

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]