Utilizator:Malparti/teste

TODO

• coefficients binomiaux, combinări, arrangements et nombres complexes (urgent !!!)
• pari de pascal (urgent)
• forme bilinéaire : rajouter une intro, parler de sesquilinéarité, etc
• corp (donner des exemples et contre exemple, des théorèmes importants, faire le lien avec d'autres structures algébriques)
• nombres complexes
• reptiles (!!)
• transformée de Laplace :
• inégalité triangulaire

---

În matematică, ordonata la origine unei funcții $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ este valoarea lui f în 0, adică f(0). Numele se referă la faptul că, într-un reper cartezian, f(0) este ordonata (adică coordonata „y”) punctului în care graficul lui f intersectează axa Oy. Dacă f nu este definită în 0, atunci ordonata la origine nu este definită.

Termenul se folosește frecvent în cadrul regresiei liniare: dacă f este funcția afină $f:x\mapsto ax+b$, atunci b este ordonata la origine lui f.

Noțiunea poate fi extinsă la alte curbe plane, dar în acest caz pot exista mai multe „ordonate la origine”. De exemplu, dacă C este cercul unitar centrat pe origine, parametrizat de $x^{2}+y^{2}=1,$ atunci C intersectează axa Oy în două puncte: (0, 1) și (0, -1). Așadar și -1 și 1 poate fi considerat o ordonată la origine a lui C. În general, pentru o curbă parametrizată de $g(x,y)=0,$ ordonatele la origine sunt soluțiile y ale ecuației $g(0,y)=0.$

Notiunea corespunzătoare, înlocuid axa Oy cu axa Ox, este cea de zerouri ale unei funcții.

Funcție afină În ramura matematicii numită analiză funcțională, transformarea Laplace este o transformare integrală care transformă o funcție f de argument real t ≥ 0 într-o altă funcție F de argument complex s. Această funcție F se numește transformata Laplace lui f.

În majoritatea cazurilor practice, transformarea Laplace este inversabilă, ceea ce înseamnă că funcția originală f poate fi dedusă din transformata F. Această proprietate permite traducerea unor probleme privind f în probleme mai ușoare de rezolvat despre F. În special, transformarea Laplace transformă ecuațiilor diferențiale ordinare în ecuații algebrice. Prin urmare, are aplicații în mai multe ramuri ale științei, precum fizică, optică, inginerie electrică, automatică, prelucrarea semnalelor și teoria probabilităților.

Transformata Laplace este numită astfel în onoarea matematicianului și astronomului Pierre-Simon Laplace, care a dezvoltat-o în lucrarea sa despre teoria probabilităților.

Istoric

TODO

Definiție formală

Transformata Laplace a unei funcții f definită pentru toate numerele reale t ≥ 0 este funcția $F={\mathcal {L}}\left\{f\right\}$ definită prin expresia:

$F(s)\;=\int _{0}^{\infty }\!f(t)\,e^{-st}\,dt\,,$

unde parametrul $s=\sigma +i\,\omega$ este un număr complex.

Discuter de quand ça converge ou non, de l'inteprétation faible et du prolongement analytique, etc.

One can define the Laplace transform of a finite Borel measure μ by the Lebesgue integral

$${\mathcal {L}}\{\mu \}(s)=\int _{[0,\infty )}e^{-st}\,d\mu (t).$$

Dire que quand la mesure est absolument continue par rapport à Lebesgue, la transformée de la mesure c'est la transformée de la dérivée de radon — par exemple, pour une mesure de proba a densité, c'est la transformée de la densité. Mais il existe des exemples importants de mesures qui ne sont pas à densité, par exemple is where μ is a probability measure, for example, the Dirac delta function.

Această transformare integrală are un număr de proprietăți care o fac utilă în analiza liniară a sistemelor dinamice. Cel mai semnificativ avantaj este acela că derivarea și integrarea devin, respectiv, înmulțire cu s și împărțire la s (similar cu modul în care logaritmii transformă o operare de înmulțire a numerelor în adunare a logaritmilor lor). Aceasta transformă ecuațiile integrale și diferențiale în ecuații polinomiale, care sunt mult mai ușor de rezolvat. Odată rezolvate ecuațiile, se folosește transformata Laplace inversă pentru a aduce rezultatele înapoi în domeniul timp.

Transformata Laplace bilaterală

Când se spune transformată Laplace, se înțelege implicit transformata Laplace unilaterală. Transformata Laplace poate fi definită și ca transformata Laplace bilaterală prin extinderea limitelor de integrare de-a lungul întregii axe reale. Dacă se face aceasta, atunci transformata Laplace unilaterală devine doar un caz particular al transformatei bilaterale unde definiția funcției este înlocuită de funcție înmulțită cu treapta unitate Heaviside.

Transformata Laplace bilaterală este definită astfel:

$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f\right\}(s)=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

Transformata Laplace inversă

Transformata Laplace inversă este dată de următoarea integrală complexă, cunoscută sub mai multe nume (integrala Bromwich, integrala Fourier-Mellin sau formula inversă a lui Mellin):

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma -i\cdot \infty }^{\gamma +i\cdot \infty }e^{st}F(s)\,ds,$

unde γ este un număr real astfel încât conturul căii de integrare este din regiunea de convergență a lui F(s) care necesită γ > Re(s_p) pentru orice punct singular s_p al lui F(s) și i² = −1. Dacă toate singularitățile se află în semiplanul stâng, adică Re(s_p) < 0 oricare ar fi s_p, atunci γ poate fi pus 0 și formula integrală inversă de mai sus devine identică cu formula de la transformata Fourier inversă.

Regiunea de convergență

Dacă ƒ este o funcție local integrabilă, atunci transformata Laplace F(s) a lui ƒ converge dacă limita

$\lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f(t)e^{-ts}\,dt$

există. Transformarea Laplace converge absolut dacă integrala

$\int _{0}^{\infty }|f(t)e^{-ts}|\,dt$

există (ca integrală Lebesgue). Transformata Laplace este înțeleasă de regulă în primul sens, cel al convergenței simple.

Mulțimea valorilor pentru care F(s) este absolut convergentă este fie de forma Re{s} > a fie de forma Re{s} ≥ a, unde a este o constantă reală extinsă, −∞ ≤ a ≤ ∞. Constanta a este cunoscută ca abscisa de absolut convergență, și depinde de creșterea lui ƒ(t). Analog, transformata bilaterală converge absolut pe o fâșie de forma a < Re{s} < b, incluzând posibil și liniile Re{s} = a sau Re{s} = b. Submulțimea valorilor lui s pentru care transformata Laplace este absolut convergentă se numește regiune de absolut convergență sau domeniu de absolut convergență. În cazul bilateral, el se numește uneori fâșia de absolut convergență. Transformata Laplace este analitică în regiunea de absolut convergență.

Similar, mulțimea valorilor pentru care F(s) converge se numește regiune de convergență. Dacă transformata Laplace este convergentă la s = s₀, atunci ea este convergentă pentru orice s cu Re{s} > Re{s₀}. Deci, regiunea de convergență este un semiplan de forma Re{s} > a, incluzând, eventual, unele puncte de pe linia Re{s} = a. În regiunea de convergență Re{s} > Re{s₀}, transformata Laplace a lui ƒ se poate exprima prin integrare prin părți, integrala fiind

$F(s)=(s-s_{0})\int _{0}^{\infty }e^{-(s-s_{0})t}\beta (t)\,dt,\quad \beta (u)=\int _{0}^{u}e^{-s_{0}t}f(t)\,dt.$

Adică, în regiunea de convergență F(s) poate fi exprimată efectiv ca transformata Laplace absolut convergentă a altei funcții. În particular, ea este analitică.

Există mai multe teoreme, de forma teoremelor Paley-Wiener, legate de relația dintre proprietățile lui ƒ și proprietățile transformatei Laplace în regiunea de convergență.

Proprietăți și teoreme

Date fiind funcțiile f(t) și g(t), și transformatele lor Laplace F(s) respectiv G(s):

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}$

$g(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\}$

următorul tabel constituie proprietățile transformatei Laplace unilaterale:

Proprietățile transformatei Laplace unilaterale

	Domeniul timp	Domeniul frecvență	Observații
Liniaritatea	$af(t)+bg(t)\$	$aF(s)+bG(s)\$	Se demonstrează folosind proprietățile de bază ale integralei.
Derivarea transformatei	$tf(t)\$	$-F'(s)\$
Derivarea transformatei	$t^{n}f(t)\$	$(-1)^{n}F^{(n)}(s)\$	mai general
Derivarea originalului	$f'(t)\$	$sF(s)-f(0^{-})\$
Derivata a doua	$f''(t)\$	$s^{2}F(s)-sf(0^{-})-f'(0^{-})\$	Se aplică proprietatea de derivare lui $f'(t)$.
Derivatele de ordin superior	$f^{(n)}(t)\$	$s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-})\$	Prin inducție.
Integrarea frecvenței	${\frac {f(t)}{t}}\$	$\int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma \$
Integrarea	$\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =u(t)*f(t)$	${1 \over s}F(s)$	$u(t)$ este funcția treaptă Heaviside.
Scalarea	$f(at)\$	${1 \over |a|}F\left({s \over a}\right)$
Deplasarea transformatei	$e^{at}f(t)\$	$F(s-a)\$
Deplasarea originalului	$f(t-a)u(t-a)\$	$e^{-as}F(s)\$	$u(t)$ este funcția treaptă Heaviside
Convoluția	$(f*g)(t)\$	$F(s)\cdot G(s)\$
Funcțiile periodice	$f(t)\$	${1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt$	$f(t)$ este o funcție periodică de perioadă $T$ astfel încât $f(t)=f(t+T),\;\forall t$

• Teorema valorii inițiale:

$f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}$

• Teorema valorii finale:

$f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}$, cu toți polii în semiplanul din stânga.

Teorema valorii finale este utilă deoarece dă comportamentul pe termen lung fără necesitatea de a calcula descompuneri în fracții parțiale sau a efectua alte calcule algebrice complicate. Dacă polii unei funcții sunt în semiplanul drept (de ex. $e^{t}$ sau $\sin(t)$) comportamentul formulei este nedefinit.

Vezi și

• Transformata Fourier
• Transformata Z
• Teorema lui Laplace (algebră)

Bibliografie

• Korn, G.A. and Korn, T.M. (1967). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill Companies; 2nd edition. ISBN 0-07-035370-0
• Polyanin, A.D. and Manzhirov, A.V. (1998). Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton. ISBN 0-8493-2876-4
• Siebert, W.McC. (1986). Circuits, Signals, and Systems, MIT Press, Cambridge, Massachusetts. ISBN 0-262-19229-2
• Davies, B. (1978). Integral transforms and their applications, Springer, New York. ISBN 0-387-90313-5
• Euler, L. (1744). "De constructione aequationum", Opera omnia 1st series, 22:150-161
• — (1753). "Methodus aequationes differentiales", Opera omnia 1st series, 22:181-213
• — (1769). "Institutiones calculi integralis", Opera omnia 1st series, 12
• Grattan-Guiness, I. (1997). "Laplace's integral solutions to partial differential equations", in Pierre Simon Laplace 1749-1827: A Life in Exact Science, Princeton University Press, 1997. ISBN 0-691-01185-0
• Lagrange, J.L. (1773). "Mémoire sur l'utilité de la méthode", Œuvres de Lagrange, 2:171-234