Funcție periodică

Funcții periodice reale

1. Definiție: Fie $\mathcal{F}:\mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R}\,$ o funcție și fie F mulțimea tuturor numerelor reale pozitive t pentru care :$\mathcal{F}(x+t)=\mathcal{F}(x)$ pentru orice x din $\mathbb{R}\,$. Elementele mulțimii F se numesc perioade ale funcției $\mathcal{F}$. Dacă marginea inferioară a numerelor din F (inf F)aparține lui F atunci această margine se numește perioada principală a funcției $\mathcal{F}$ .

2. Propoziție: Dacă $\mathcal{F}$ este periodică și are perioada principală T1 atunci $\mathcal{F}(ax)$,a fiind un numar real pozitiv diferit de zero,este periodică de perioadă principală T=T1/a.

3. Grafic: Graficul unei funcții periodice se trasează mai intai în intervalul [ 0, T ]de lungime egală cu perioada principală T a funcției. Graficul se extinde apoi și pe intervalele [ T, 2T ]etc. prin deplasarea oricărui punct M(x,$\mathcal{F}$(x))paralel cu axa (ox),în punctul M'(x+T,$\mathcal{F}$(x)).Dacă T este perioada principală a funcției $\mathcal{F}$ atunci funcția $\mathcal{F}$ admite și perioada KT,unde k este din $\mathbb{Z}\,$ ,K pozitiv.Demonstrația se face prin inducție matematică.

4.Teoremă: Dacă $\mathcal{F}$ și$\mathcal{G}$ sunt funcții periodice de perioade principale T și S și dacă T și S sunt numere întregi pozitive, atunci suma $\mathcal{F}$ +$\mathcal{G}$ este periodică și admite ca perioadă pe cel mai mic multiplu comun al perioadelor T și S.

Bibliografie

• Gheorghe Rizescu, Eugenia Rizescu: "Teme pentru cercurile de matematică din licee", Editura Didactică și Pedagogică, București, 1977.