Funcție periodică

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Funcții periodice reale[modificare | modificare sursă]

1. Definiție: Fie \mathcal{F}:\mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R}\, o funcție și fie F mulțimea tuturor numerelor reale pozitive t pentru care :\mathcal{F}(x+t)=\mathcal{F}(x) pentru orice x din \mathbb{R}\,. Elementele mulțimii F se numesc perioade ale funcției \mathcal{F}. Dacă marginea inferioară a numerelor din F (inf F)aparține lui F atunci această margine se numește perioada principală a funcției \mathcal{F} .

2. Propoziție: Dacă \mathcal{F} este periodică și are perioada principală T1 atunci \mathcal{F}(ax),a fiind un numar real pozitiv diferit de zero,este periodică de perioadă principală T=T1/a.

3. Grafic: Graficul unei funcții periodice se trasează mai intai în intervalul [ 0, T ]de lungime egală cu perioada principală T a funcției. Graficul se extinde apoi și pe intervalele [ T, 2T ]etc. prin deplasarea oricărui punct M(x,\mathcal{F}(x))paralel cu axa (ox),în punctul M'(x+T,\mathcal{F}(x)).Dacă T este perioada principală a funcției \mathcal{F} atunci funcția \mathcal{F} admite și perioada KT,unde k este din \mathbb{Z}\, ,K pozitiv.Demonstrația se face prin inducție matematică.

4.Teoremă: Dacă \mathcal{F} și\mathcal{G} sunt funcții periodice de perioade principale T și S și dacă T și S sunt numere întregi pozitive, atunci suma \mathcal{F} +\mathcal{G} este periodică și admite ca perioadă pe cel mai mic multiplu comun al perioadelor T și S.

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Gheorghe Rizescu, Eugenia Rizescu: "Teme pentru cercurile de matematică din licee", Editura Didactică și Pedagogică, București, 1977.