Integrare prin părți

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Integrarea prin părți este o metodă utilizată în analiza matematică pentru determinarea primitivei produsului a două funcții, când se cunoaște primitiva uneia.

Teoremă[modificare | modificare sursă]

Dacă funcțiile f, g : [a, b] \rightarrow \mathbb R \! sunt derivabile și au derivate continue pe [a, b] \! atunci are loc egalitatea:

\int f(x) g'(x) dx = f(x)  g(x) - \int f'(x) g(x) dx. \!

unde simbolul \int f(x) g'(x) dx \! reprezintă mulțimea primitivelor funcției fg', \! iar \int f'(x) g(x)dx \! reprezintă mulțimea primitivelor funcției f'g. \!


Demonstrație.

Funcția h = fg \! are derivată continuă pe [a, b] \! și

h'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) \!

Fie acum \varphi \in \int f(x) g'(x) dx \! și diferența \psi = \varphi -fg. \! Prin derivare se obține egalitatea:

\psi' = \varphi' - f'g - fg' = - f'g \!

care arată că \psi \in - \int f'g. \!

Astfel am obținut că funcția \varphi = fg + \psi \! și \psi \in - \int f'g. \! Altfel spus, \varphi \in fg - \int f'g. \! Analog se arată că oricare ar fi \psi \in - \int f'(x)g(x)dx, \! funcția \varphi = fg + \psi \in \int f(x)g'(x)dx. \!


Consecință.

Dacă funcțiile f, g: [a, b] \rightarrow \mathbb R \! au derivate continue pe [a, b], \! atunci are loc egalitatea:

\int_a^b f(x) g'(x) dx = f(b)g(b) - f(a) g(a) - \int_a^b f'(x) g(x) dx \!

Exemple[modificare | modificare sursă]

Exemplul 1[modificare | modificare sursă]

Să se calculeze \int x \cos x  dx.

Mai întâi alegem funcțiile f și g:

  • f(x) = x
  • g(x) = \cos x .

Calculăm derivata lui f: f'(x) = x' =1.

Integrăm pe g: \int g(x) dx = \int \cos x dx = \sin x.

Deci \int \cos x dx = x \sin x - \int 1  \sin x dx = x \sin x - \cos x  + \mathcal C.

Exemplul 2[modificare | modificare sursă]

Multe formule de recurență se stablesc prin integrare prin părți repetată. De exemplu, fie:

I_n = \int \cos ^n x dx. \!

Integrând prin părți rezultă:

I_n = \cos^{n-1} x \cdot \sin x +(n-1) I_{n-2} - (n-1)I_n \!

De aici avem:

nI_n = \cos^{n-1} x \cdot \sin x +(n-1) I_{n-2} \!

Această formulă împreună cu egalitățile I_0 = x \! și I_1 = \sin x \! conduc la evaluarea primitivei I_n, \! pentru n \in \mathbb N. \!

Legături externe[modificare | modificare sursă]