Treapta unitate Heaviside

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Funcţia treaptă Heaviside

Funcția treaptă Heaviside, u, numită și funcția treaptă unitate, este o funcție discontinuă ale cărei valori sunt zero pentru argumente negative și unu pentru argumente pozitive. Rareori contează ce valoare este folosită pentru u(0), deoarece u este folosită mai ales ca distribuție.

Funcția este folosită în matematica teoriei controlului și a prelucrării semnalelor pentru a reprezenta un semnal care este pornit la un moment dat și rămâne pornit pe termen nedefinit. A fost denumit în cinstea matematicianului englez Oliver Heaviside.

Este funcția de distribuție cumulativă a unei variabile aleatoare care este aproape sigur 0.

Funcția Heaviside este o primitivă a funcției impulsul Dirac: u′ = δ. Aceasta se scrie uneori ca

 u(x) = \int_{-\infty}^x { \delta(t)} \mathrm{d}t

deși această dezvoltare ar putea să nu aibă sens pentru x = 0, în funcție de ce formalism se folosește pentru a da sens integralelor ce implică δ.

Forma discretă[modificare | modificare sursă]

Se poate defini o formă alternativă a treptei unitate ca funcție de o variabilă discretă n:

H[n]=\begin{cases} 0, & n < 0 \\ 1, & n \ge 0 \end{cases}

unde n este întreg.

Impulsul unitate în timp discret este prima diferență a treptei unitate

 \delta[n] = u[n] - u[n-1].

Această funcție este suma cumulativă a funcției delta Kronecker:

 u[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} \delta[k] \,

unde

 \delta[k] = \delta_{k,0} \,

este funcția impuls unitar discret.

Aproximări analitice[modificare | modificare sursă]

Pentru o aproximare derivabilă a funcției treaptă, se poate folosi funcția

u(x) \approx \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\tanh(kx) = \frac{1}{1+\mathrm{e}^{-2kx}},

unde un k mai mare corespunde unei tranziții mai bruște la x = 0. Dacă se ia u(0) = ½, egalitatea este valabilă la limită:

u(x)=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{2}(1+\tanh kx)=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{1+\mathrm{e}^{-2kx}}

Există multe aproximări derivabile analitice ale funcției treaptă[1]. Acestea includ:

u(x) = \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\arctan(kx) \
u(x) = \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\operatorname{erf}(kx) \

În timp ce aceste aproximări converg punctual spre funcția treaptă, distribuțiile pe care le implică nu converg strict către distribuția delta. În particular, mulțimea măsurabilă

\bigcup_{n=0}^{\infty}[2^{-2n};2^{-2n+1}]

are măsura zero în distribuția delta, dar sub fiecare aproximare derivabilă devine mai mare cu cât este crescut k.

Reprezentări[modificare | modificare sursă]

Adesea este utilă o reprezentare integrală a treptei unitate Heaviside:

u(x)=\lim_{ \epsilon \to 0^+} -{1\over 2\pi \mathrm{i}}\int_{-\infty}^\infty {1 \over \tau+\mathrm{i}\epsilon} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x \tau} \mathrm{d}\tau

u(0)[modificare | modificare sursă]

Valoarea funcției în 0 poate fi definită ca u(0) = 0, u(0) = \frac{1}{2} sau u(0) = 1. u(0) = \frac{1}{2} este alegerea cea mai populară, deoarece maximizează simetria funcției și devine complet consistentă cu funcția signum. Astfel se generalizează definiția:

 u(x) = \frac{1+\sgn(x)}{2} =
  \begin{cases} 0,           & x < 0
             \\ \frac{1}{2}, & x = 0
             \\ 1,           & x > 0
  \end{cases}

Pentru a elimina ambiguitatea asupra valorii de folosit pentru u(0), se folosește un indice care arată ce valoare se folosește:

 u_a(x) =
  \begin{cases} 0, & x < 0
             \\ a, & x = 0
             \\ 1, & x > 0
  \end{cases}

Primitiva și derivata[modificare | modificare sursă]

Funcția rampă este o primitivă a funcției treaptă Heaviside: R(x) := \int_{-\infty}^{x} H(\xi)\mathrm{d}\xi

Derivata funcției treaptă Heaviside este impulsul Dirac:  \frac {du(x)}{dx} = \delta(x)

Transformata Fourier[modificare | modificare sursă]

Transformata Fourier a funcției treaptă Heaviside este o distribuție. Folosind o variantă de constante pentru definiția transformatei Fourier avem


\hat{u}(s) = \int\limits^{\infty}_{-\infty} \mathrm{e}^{-2\pi\mathrm{i} x s} u(x)\,  dx  = \frac{1}{2} \left( \delta(s) - \frac{ \mathrm{i}}{\pi s} \right)

Aici termenul \frac{1}{s} trebuie interpretat ca o distribuție care primește o funcție de test \phi valoarea principală Cauchy pentru \int\limits^{\infty}_{-\infty} \phi(x)/x\, dx.

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Weisstein, Eric W.. „Heaviside step function”. Mathworld - a Wolfram web resource. http://mathworld.wolfram.com/HeavisideStepFunction.html. Accesat la 17 martie 2008.