Treapta unitate Heaviside

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Salt la: Navigare, căutare
Funcţia treaptă Heaviside

Funcţia treaptă Heaviside, u, numită şi funcţia treaptă unitate, este o funcţie discontinuă ale cărei valori sunt zero pentru argumente negative şi unu pentru argumente pozitive. Rareori contează ce valoare este folosită pentru u(0), deoarece u este folosită mai ales ca distribuţie.

Funcţia este folosită în matematica teoriei controlului şi a prelucrării semnalelor pentru a reprezenta un semnal care este pornit la un moment dat şi rămâne pornit pe termen nedefinit. A fost denumit în cinstea matematicianului englez Oliver Heaviside.

Este funcţia de distribuţie cumulativă a unei variabile aleatoare care este aproape sigur 0.

Funcţia Heaviside este o primitivă a funcţiei impulsul Dirac: u′ = δ. Aceasta se scrie uneori ca

u(x) = \int_{-\infty}^x { \delta(t)} \mathrm{d}t

deşi această dezvoltare ar putea să nu aibă sens pentru x = 0, în funcţie de ce formalism se foloseşte pentru a da sens integralelor ce implică δ.

Cuprins

[modifică] Forma discretă

Se poate defini o formă alternativă a treptei unitate ca funcţie de o variabilă discretă n:

H[n]=\begin{cases} 0, & n < 0 \\ 1, & n \ge 0 \end{cases}

unde n este întreg.

Impulsul unitate în timp discret este prima diferenţă a treptei unitate

δ[n] = u[n] − u[n − 1].

Această funcţie este suma cumulativă a funcţiei delta Kronecker:

u[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} \delta[k] \,

unde

\delta[k] = \delta_{k,0} \,

este funcţia impuls unitar discret.

[modifică] Aproximări analitice

Pentru o aproximare derivabilă a funcţiei treaptă, se poate folosi funcţia

u(x) \approx \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\tanh(kx) = \frac{1}{1+\mathrm{e}^{-2kx}},

unde un k mai mare corespunde unei tranziţii mai bruşte la x = 0. Dacă se ia u(0) = ½, egalitatea este valabilă la limită:

u(x)=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{2}(1+\tanh kx)=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{1+\mathrm{e}^{-2kx}}

Există multe aproximări derivabile analitice ale funcţiei treaptă[1]. Acestea includ:

u(x) = \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\arctan(kx) \
u(x) = \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\operatorname{erf}(kx) \

În timp ce aceste aproximări converg punctual spre funcţia treaptă, distribuţiile pe care le implică nu converg strict către distribuţia delta. În particular, mulţimea măsurabilă

\bigcup_{n=0}^{\infty}[2^{-2n};2^{-2n+1}]

are măsura zero în distribuţia delta, dar sub fiecare aproximare derivabilă devine mai mare cu cât este crescut k.

[modifică] Reprezentări

Adesea este utilă o reprezentare integrală a treptei unitate Heaviside:

u(x)=\lim_{ \epsilon \to 0^+} -{1\over 2\pi \mathrm{i}}\int_{-\infty}^\infty {1 \over \tau+\mathrm{i}\epsilon} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x \tau} \mathrm{d}\tau

[modifică] u(0)

Valoarea funcţiei în 0 poate fi definită ca u(0) = 0, u(0) = \frac{1}{2} sau u(0) = 1. u(0) = \frac{1}{2} este alegerea cea mai populară, deoarece maximizează simetria funcţiei şi devine complet consistentă cu funcţia signum. Astfel se generalizează definiţia:

u(x) = \frac{1+\sgn(x)}{2} = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \frac{1}{2}, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}

Pentru a elimina ambiguitatea asupra valorii de folosit pentru u(0), se foloseşte un indice care arată ce valoare se foloseşte:

u_a(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ a, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}

[modifică] Primitiva şi derivata

Funcţia rampă este o primitivă a funcţiei treaptă Heaviside: R(x) := \int_{-\infty}^{x} H(\xi)\mathrm{d}\xi

Derivata funcţiei treaptă Heaviside este impulsul Dirac: \frac {du(x)}{dx} = \delta(x)

[modifică] Transformata Fourier

Transformata Fourier a funcţiei treaptă Heaviside este o distribuţie. Folosind o variantă de constante pentru definiţia transformatei Fourier avem

\hat{u}(s) = \int\limits^{\infty}_{-\infty} \mathrm{e}^{-2\pi\mathrm{i} x s} u(x)\, dx = \frac{1}{2} \left( \delta(s) - \frac{ \mathrm{i}}{\pi s} \right)

Aici termenul \frac{1}{s} trebuie interpretat ca o distribuţie care primeşte o funcţie de test φ valoarea principală Cauchy pentru \int\limits^{\infty}_{-\infty} \phi(x)/x\, dx.

[modifică] Bibliografie

  1. ^ Weisstein, Eric W.. Heaviside step function. Mathworld - a Wolfram web resource. Accesat la data de 2008-03-17.
Adus de la http://ro.wikipedia.org/wiki/Treapta_unitate_Heaviside
Unelte personale