Teorema lui Stokes

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Salt la: Navigare, căutare

Teorema lui Stokes din geometria diferenţială este o afirmaţie despre integrarea formelor diferenţiale care generalizează câteva teoreme din calculul vectorial. Îşi trage numele de la Sir George Gabriel Stokes (1819–1903), deşi primul care a enunţat această teoremă a fost William Thomson (Lord Kelvin) şi apare într-o scrisoare a acestuia către Stokes. Teorema a fost numită după Stokes din cauza obiceiului acestuia de a o include în examenele pentru premiul Cambridge. În 1854, a cerut studenţilor săi să demonstreze această teoremă la un examen. Nu se ştie dacă a reuşit vreunul din ei.

Cuprins

[modifică] Introducere

Teorema fundamentală a calculului integral spune că integrala unei funcţii f pe intervalul [a, b] poate fi calculată prin găsirea unei primitive F a lui f:

\int_a^b f(x)\,\mathrm dx = F(b) - F(a).

Teorema lui Stokes este o generalizare a acestei teoreme în următorul sens.

  • Se alege F, \frac{dF}{dx}=f. În limbajul formelor diferenţiale, se spune că f(x) dx este derivata exterioară a funcţiei F: dF = f dx. Teorema lui Stokes se aplică formelor diferenţiale superioare ω în loc de F.
  • Intervalul deschis (a, b) este o varietate unidimensională. Limita sa este mulţimea care constă din cele două puncte a şi b. Integrarea lui f pe acel interval poate fi generalizată la integrarea unor forme pe o varietate superior dimensională. Sunt necesare două condiţii tehnice: varietatea trebuie să fie orientabilă, iar forma trebuie să aibă suport compact pentru a da o integrală bine definită.
  • Cele două puncte a şi b formează frontiera intervalului deschis. Mai general, teorema lui Stokes se aplică la varietăţile orientate M cu frontieră. Frontiera ∂M a lui M este ea însăşi o varietate şi moşteneşte o orientare naturală de la varietatea a cărei frontieră este. De exemplu, orientarea naturală a intervalului dă o orientare a celor două puncte de frontiera. Intuitiv, a moşteneşte orientarea inversă decât cea a lui b, întrucât se află la capete opuse ale intervalului. Deci, "integrând" F peste cele două puncte de frontieră a, b înseamnă calcularea diferenţei F(b) − F(a).

Astfel, teorema fundamentală spune:

\int_{(a, b)} f(x)\,dx = \int_{(a, b)} dF = \int_{\{a\}^- \cup \{b\}^+} F = F(b) - F(a).


[modifică] Formulare generală

Fie M o varietate orientată derivabilă pe porţiuni de dimensiune n şi fie ω o formă n−1 care este formă diferenţială cu suport compact pe M de clasă C1. Dacă se notează cu ∂M frontiera lui M cu orientarea indusă, atunci

\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega.\!\,

Aici d este derivata exterioară, definită folosind doar structura varietăţii.

Teorema este adesea folosită în situaţii în care M este o subvarietate orientată a unei varietăţi mai mari pe care forma ω este definită.

[modifică] Citire topologică

Teorema se extinde uşor la combinaţii liniare de subvarietăţi derivabile pe porţiuni, aşa-numitele lanţuri. Teorema lui Stokes arată apoi că formele închise definite până la o formă exactă pot fi integrate pe lanţuri definite doar până la o frontieră.

[modifică] Cazuri speciale

Forma generală a teoremei lui Stokes cu forme diferenţiale este mai puternică şi mai uşor de folosit decât cazurile speciale. Deoarece în coordonate carteziene versiunile tradiţionale pot fi formulate fără instrumentele geometriei diferenţiale, ele sunt mai accesibile şi au denumiri mai familiare. Formele tradiţionale sunt adesea considerate mai convenabile de ingineri şi oameni de ştiinţă dar lipsa de naturaleţe a formulărilor tradiţionale devine aparentă atunci când se folosesc alte sisteme de coordonate, chiar unele familiare ca cele sferice sau cilindrice. Există un potenţial de confuzie în felul în care sunt aplicate denumirile, şi utilizarea formulărilor duale.

[modifică] Teorema Kelvin-Stokes

O ilustrare a teoremei Kelvin-Stokes cu suprafaţa Σ, frontiera ei \partial \Sigma, şi orientarea n.

Acesta este cazul 1+1 dimensional dualizat (dualizat pentru că este o afirmaţie despre câmpurile vectoriale). Acest caz special este adesea denumit teorema lui Stokes în multe cursuri universitare de introducere în calculul vectorial.

Teorema Kelvin-Stokes clasică:

\int_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r},

ceea ce leagă integrala de suprafaţă a rotorului unui câmp vectorial pe o suprafaţă Σ în spaţiul tridimensional euclidian de integrala curbilinie a câmpului vectorial pe frontiera acelei suprafeţe, este doar un caz special al teoremei lui Stokes generale (unde n = 2). Curba pe care se calculează integrala curbilinie (\partial\Sigma) trebuie să aibă orientare pozitivă, astfel încât d\mathbf{r} se mişcă în sens trigonometric la parcurgere când suprafaţa normală (d\mathbf{\Sigma}) e îndreptată spre privior, conform regulii mâinii drepte.

Poate fi rescrisă şi ca

\iint\limits_{\Sigma}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\,dy\,dz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\,dz\,dx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dx\,dy=\oint\limits_{\partial\Sigma}P\,dx+Q\,dy+R\,dz

unde P, Q şi R sunt componentele lui F.

Aceste variante sunt folosite mai frecvent:

\int_{\Sigma} \left( g \left(\nabla \times \mathbf{F}\right) + \left( \nabla g \right) \times \mathbf{F} \right) \cdot d\mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial\Sigma} g \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r},
\int_{\Sigma} \left( \mathbf{F} \left(\nabla \cdot \mathbf{G} \right) - \mathbf{G}\left(\nabla \cdot \mathbf{F} \right) + \left( \mathbf{G} \cdot \nabla \right) \mathbf{F} - \left(\mathbf{F} \cdot \nabla \right) \mathbf{G} \right) \cdot d\mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial\Sigma} \left( \mathbf{F} \times \mathbf{G}\right) \cdot d \mathbf{r}.

[modifică] În electromagnetism

Două din cele patru ecuaţii ale lui Maxwell implică rotorii unor câmpuri vectoriale în 3-D, iar formele lor integrale şi diferenţiale sunt legate prin teorema Kelvin-Stokes:

Nume Forma diferenţială Forma integrală (conform teoremei Kelvin-Stokes)
Legea inducţiei a lui Faraday: \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} \oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = \int_S \nabla \times \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = - \ { d \over dt } \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}
Legea lui Ampère
(cu extensia lui Maxwell):		 \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} \oint_C \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \int_S \nabla \times \mathbf{H} \cdot d \mathbf{A} = \int_S \mathbf{J} \cdot d \mathbf{A} + {d \over dt} \int_S \mathbf{D} \cdot d \mathbf{A}

[modifică] Teorema divergenţei

La fel, teorema divergenţei (sau teorema Gauss-Ostrogradski)

\int_{\mathrm{Vol}} \nabla \cdot \mathbf{F} \ d_\mathrm{Vol} = \oint_{\partial \mathrm{Vol}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{\Sigma}

este un caz special dacă se identifică un câmp vectorial cu forma n−1 obţinută prin contracţia câmpului vectorial cu forma de volum euclidiană.

[modifică] Teorema lui Green

Teorema lui Green se recunoaşte imediat ca fiind al treilea integrand din ambele părţi ale integralei cu P, Q, şi R de mai sus.

[modifică] Bibliografie

  • Joos, Georg. Theoretische Physik. 13th ed. Akademische Verlagsgesellschaft Wiesbaden 1980. ISBN 3-400-00013-2
  • Katz, Victor J. (May 1979). The History of Stokes' Theorem, pag. 146–156.
  • Marsden, Jerrold E., Anthony Tromba. Vector Calculus. 5th edition W. H. Freeman: 2003.
  • Spivak, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. HarperCollins Publishers (June 1965). ISBN 0-8053-9021-9.
  • Stewart, James. Calculus: Concepts and Contexts. 2nd ed. Pacific Grove, CA: Brooks/Cole, 2001.
  • Stewart, James. Calculus: Early Transcendental Functions. 5th ed. Brooks/Cole, 2003.

Adus de la http://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_lui_Stokes
Unelte personale