Rotor

În calculul vectorial, rotorul este un operator vectorial care scoate în evidență "rata de rotație" a unui câmp vectorial, adică direcția axei de rotație și magnitudinea rotației. În lucrările de limbă română, operatorul rotor este notat cu rot.

Termenul de "rotație" este folosit aici ca proprietate a unei funcții vectoriale de poziție, independent de variația acesteia în timp.

Definiție matematică

Din punct de vedere matematic, rotorul este definit prin următoarea formulă:

$\mathbf{rot} F \cdot \hat{n} = \lim_{A \rightarrow 0}{\frac{\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s}}{A}}$

unde $\hat{n}$ este vectorul unitate normal la suprafața de rotație.

Partea din dreapta este valoarea unei integrale pe conturul unei suprafețe care tinde la zero (se apropie oricât de mult de un punct)

Notație

Operatorul rotor aplicat pe un câmp vectorial F se poate nota și cu $\nabla \times F$, făcând legătura cu operatorul nabla. Aceasta conduce la o notație mnemonică des folosită pentru reținerea expresiei rotorului unui câmp de vectori în coordonate carteziene, și anume:

$\nabla \times F\,=\,\mathbf{det} \begin{bmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \\ {\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\ \\ F_x & F_y & F_z \end{bmatrix}$

unde F_x, F_y, F_z sunt componentele câmpului vectorial pe axele sistemului cartezian, Ox, Oy, respectiv Oz, iar $\hat{i}$, $\hat{j}$, $\hat{k}$ sunt, respectiv, versorii direcțiilor celor trei axe.

Determinantul simbolic de mai sus se dezvoltă în mod obligatoriu după prima linie, cea cu versorii direcțiilor, și produce rezultatul:

$\nabla \times \mathbf{F}\,=\,\left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right) \hat{i} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) \hat{j} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \hat{k}$

Această expresie este chiar definiția rotorului în coordonate carteziene.

Vezi și

• Laplacian
• edp