Rotor

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

În calculul vectorial, rotorul este un operator vectorial care scoate în evidenţă "rata de rotaţie" a unui câmp vectorial, adică direcţia axei de rotaţie şi magnitudinea rotaţiei. În lucrările de limbă română, operatorul rotor este notat cu rot.

Termenul de "rotaţie" este folosit aici ca proprietate a unei funcţii vectoriale de poziţie, independent de variaţia acesteia în timp.

[modifică] Definiţie matematică

Din punct de vedere matematic, rotorul este definit prin următoarea formulă^[1]:

$\mathbf{rot} F \cdot \hat{n} = \lim_{A \rightarrow 0}{\frac{\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s}}{A}}$

unde $\hat{n}$ este vectorul unitate normal la suprafaţa de rotaţie.

Partea din dreapta este valoarea unei integrale pe conturul unei suprafeţe care tinde la zero (se apropie oricât de mult de un punct)

[modifică] Notaţie

Operatorul rotor aplicat pe un câmp vectorial F se poate nota şi cu $\nabla \times F$ , făcând legătura cu operatorul nabla. Aceasta conduce la o notaţie mnemonică des folosită pentru reţinerea expresiei rotorului unui câmp de vectori în coordonate carteziene, şi anume:

$\nabla \times F\,=\,\mathbf{det} \begin{bmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \\ {\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\ \\ F_x & F_y & F_z \end{bmatrix}$

unde F_x, F_y, F_z sunt componentele câmpului vectorial pe axele sistemului cartezian, Ox, Oy, respectiv Oz, iar $\hat{i}$ , $\hat{j}$ , $\hat{k}$ sunt, respectiv, versorii direcţiilor celor trei axe.

Determinantul simbolic de mai sus se dezvoltă în mod obligatoriu după prima linie, cea cu versorii direcţiilor, şi produce rezultatul:

$\nabla \times \mathbf{F}\,=\,\left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right) \hat{i} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) \hat{j} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \hat{k}$