Varietate (matematică)

O sferă (suprafața unei bile) este o varietate bidimensională deoarece poate fi reprezentată prin diverse hărți bidimensionale

În matematică (mai ales în geometria diferențială și topologie), o varietate este un spațiu topologic, care la o scară destul de mică are proprietățile unui spațiu euclidian de o anumită dimensiune, numită dimensiunea varietății. Așadar, o linie este o varietate unidimensională, un plan și suprafața unei sfere sunt varietăți bidimensionale și așa mai departe. Fiecare punct de pe o varietate n-dimensională are o vecinătate care este omeomorfă cu o mulțime deschisă al spațiului $\mathbb R^n. \!$

Deși o varietate are proprietăți locale ale unui spațiu euclidian, structura generala poate fi mult mai complexă (de exemplu o parte a globului pământesc care este cartografiată).

Definiție. Se numește varietate topologică de dimensiune n un spațiu topologic M care îndeplinește următoarele trei condiții:

(i) M este un spațiu topologic Hausdorff (sau, cum se mai spune, verifică axioma de separabilitate $T_2: \!$ două puncte distincte au vecinătăți disjuncte);

(ii) M are o bază numărabilă de mulțimi deschise;

(iii) M este local euclidian de dimensiune n, ceea ce înseamnă că fiecare punct al său are o vecinătate omeomorfă cu o mulțime deschisă din $\mathbb R^n \!$ (sau, ceea ce este același lucru, cu întregul $\mathbb R^n \!$).

Definiție. Dacă M este un spațiu topologic, o hartă de dimensiune n pe M este o pereche $(U, \varphi), \!$ unde $U \subset M \!$ este o submulțime deschisă iar $\varphi : U \rightarrow \mathbb R^n \!$ este un omeomorfism pe imagine.

Vezi și

Teoria împletiturilor

Legături externe

• Dimensions-math.org (A film explaining and visualizing manifolds up to fourth dimension.)
• The manifold atlas project of the Hausdorff Institute for Mathematics in Bonn