Relație de ordine

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În matematică, o relație de ordine, numită și relație de ordine parțială (sau ordine sau ordine parțială), este orice relație binară reflexivă, antisimetrică și tranzitivă pe o mulțime. Două elemente în relație (în orice ordine) unul cu altul se numesc comparabile.

Definiție[modificare | modificare sursă]

O relație binară \preceq\subseteq A\times A pe o mulțime A se numește relație de ordine dacă îndeplinește următoarele proprietăți:

  • reflexivitate: \forall x\in A\,,\ x\preceq x
  • antisimetrie: \forall x,y\in A, dacă x\preceq y și y\preceq x atunci x=y
  • tranzitivitate: \forall x,y,z\in A, dacă x\preceq y și y\preceq z atunci x\preceq z

Termeni folosiți[modificare | modificare sursă]

Dacă M este o submulțime nevidă a lui A (M\subseteq A, M\neq\emptyset), un element a\in A se numește:

  • majorant al lui M dacă \forall b\in M\,,\ b\preceq a. O mulțime care are un majorant se numește majorată sau mărginită superior.
  • minorant al lui M dacă \forall b\in M\,,\ a\preceq b. O mulțime care are un minorant se numește minorată sau mărginită inferior
  • maximul lui M dacă este majorant al lui M și aparține lui M. Dacă o mulțime are un maxim, acesta este unic.
  • minimul lui M dacă este minorant al lui M și aparține lui M. Dacă o mulțime are un minim, acesta este unic.
  • supremumul sau marginea superioară a lui M dacă a este minimul mulțimii majoranților lui M.
  • infimumul sau marginea inferioară a lui M dacă a este maximul mulțimii minoranților lui M.

Exemple[modificare | modificare sursă]

  • Incluziunea mulțimilor este o relație de ordine pe orice mulțime de mulțimi.
  • Relația de divizibilitate este o relație de ordine pe mulțimea numerelor naturale. În această relație, 1 este minimul mulțimii numerelor naturale, iar 0 este maximul.
  • Relația de ordine între funcții: f\leq g dacă \forall x\in D\,,\ f(x)\leq g(x), unde D este domeniul de definiție comun al funcțiilor f și g, iar relația \leq din partea dreaptă este o relație de ordine pe codomeniul comun al funcțiilor.

Tipuri speciale de relații de ordine[modificare | modificare sursă]

Ordine totală[modificare | modificare sursă]

O relație de ordine în care orice două elemente sunt comparabile, adică

\forall x,y\in A, x\preceq y sau y\preceq x

se numește relație de ordine totală. Ordinea obișnuită între numere este o ordine totală.

Bună ordonare[modificare | modificare sursă]

O relație de ordine totală în care în plus orice submulțime nevidă admite un minim se numește relație de bună ordonare, iar mulțimea pe care s-a stabilit relația se numește mulțime bine ordonată. De exemplu, mulțimea numerelor naturale este bine ordonată.

Latici[modificare | modificare sursă]

Dacă orice submulțime finită admite un infimum și un supremum, mulțimea A împreună cu relația de ordine se numește latice. De exemplu, mulțimea submulțimilor unei mulțimi împreună cu relația de incluziune formează o latice.