Relație de ordine totală

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

O relație de ordine totală, numită și ordine liniară, este o relație de ordine având proprietatea suplimentară că orice două elemente sunt comparabile.

Definiție formală[modificare | modificare sursă]

O relație binară \leq\subseteq A\times A pe o mulțime A este numită ordine totală dacă îndeplinește simultan condițiile:

  1. \forall x,y\in A, dacă x\leq y și y\leq x, atunci x=y (antisimetrie)
  2. \forall x,y,z\in A, dacă x\leq y și y\leq z, atunci x\leq z (tranzitivitate)
  3. \forall x,y\in A, are loc x\leq y sau y\leq x, (relația este totală)

De notat că, aplicând condiția 3 pentru x=y, rezultă \forall x\in A,\,x\leq x (reflexivitatea).

Exemple notabile[modificare | modificare sursă]

  • Relația obișnuită de ordine între numerele naturale este o relație de ordine totală (mai mult, este bună ordonare). Tipul acestei relații se notează cu ω. (Două relații se spune că au același tip dacă sunt izomorfe.)
  • Relația obișnuită de ordine între numerele întregi.
  • Relația obișnuită de ordine între numerele întregi negative. Tipul acesteia se notează cu \omega^*
  • Relația de ordine între numerele raționale. Aceasta este o ordine densă, în sensul că între orciare două numere raționale distincte există un număr rațional distinct fată de acestea. Tipul de ordine al mulțimii numerelor reale se notează η.
  • Relația de ordine între numerele reale. Aceasta este o ordine continuă, în sensul că, dacă A și B sunt două mulțimi de numere reale, având proprietatea că \forall a\in A,\forall b\in B,a\leq b, atunci există un număr real c cu proprietatea că \forall a\in A,\forall b\in B,a\leq c\leq b. Tipul de ordine al mulțimii numerelor reale se notează λ.

În schimb, următoarele relații de ordine nu sunt totale:

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

Kazimierz Kuratowski, Introducere în teoria mulțimilor și în topologie. Traducere, Editura Tehnică, București, 1969.