Inegalitate

O inegalitate, în matematică, este o relație care există între oricare două mărimi care nu sunt egale. Se notează de obicei cu semnul ≠ („inegal”). Relațiile și notațiile > („mai mare”) și < („mai mic”) implică și ele o inegalitate.

Notații

Fie a, b două numere reale:

$a, b \in \mathbb{R}$ (unde $\mathbb{R}$ este corpul numerelor reale)

Atunci se definește:

• $a < b \!\$ înseamnă: a este mai mic (strict) decât b.
• $a > b \!\$ înseamnă: a este mai mare (strict) decât b.

Există și inegalități nestricte:

• $a \le b$ înseamnă: a este mai mic sau egal cu b.
• $a \ge b$ înseamnă: a este mai mare sau egal cu b.

Proprietăți

Trihotomie

Între două numere reale $a, b \,$   există numai una din relațiile:

• $a < b \!\$
• $a > b \,$
• $a = b \,$

Antisimetrie

Fie $a, b \in \mathbb{R}$. Atunci:

• Dacă   $a < b \,$   atunci   $b > a \,$
• Dacă   $a >b \,$   atunci   $b < a \,$

Tranzitivitate

Fie   $a, b, c \in \mathbb{R}$. Atunci:

• Dacă   $a < b \,$   și   $b < c \,$   atunci   $a < c \,$
• Dacă   $a > b \,$   și   $b > c \,$   atunci   $a > c \,$

Inegalități celebre

• Inegalitatea Cauchy-Schwarz
• Inegalitatea mediilor
• Inegalitatea lui Euler
• Inegalitatea lui Bernoulli
• Inegalitatea lui Bessel
• Inegalitatea triunghiului
• Inegalitatea lui Ptolemeu
• Inegalitatea lui Gauss
• Inegalitatea lui Abel
• Inegalitatea lui Jensen
• Inegalitatea lui Minkovski
• [Inegalitatea lui Chasles]

Bibliografie

• Ion, I. D. - Algebră pentru perfecționarea profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983
• Popa, C. - Introducere în Analiza matematică, Editura Facla, 1976
• Hardy, G.; Littlewood, J.E.; Polya, G. - Inequalities, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, 1999. ISBN 0-521-05206-8
• Hardy, Godfrey Harold; Littlewood, John Edensor; Polya, George - Inequalities, Cambridge University Press, 1952

Vezi și

• Relație binară
• Relație de ordine
• Egalitate
• Inecuație
• Interval (matematică)

Legături externe

• en Inegalități la MathWorld
• en Inegalități la Mathwarehouse
• en Inegalități la Math.com