Teorema Cayley-Hamilton

În algebra liniară, teorema Cayley-Hamilton (numită astfel după numele matematicienilor Arthur Cayley și William Hamilton) susține că orice matrice pătratică pe un inel comutativ își satisface ecuația caracteristică:

$det (A- \lambda I) =0. \!$

unde A este o matrice pătratică de ordinul n:

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \!$

iar $I_n \!$ matricea unitate:

$I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}. \!$

Caz particular

Pentru $n=2. \!$

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \Rightarrow \; det\; A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad-bc. \!$

$A-\lambda I = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a- \lambda & b \\ c & d- \lambda \end{pmatrix}. \!$

$det \; A- \lambda I = 0 \; \Leftrightarrow \; \begin{pmatrix} a- \lambda & b \\ c & d- \lambda \end{pmatrix} = 0 \; \Leftrightarrow \; (a - \lambda)(d- \lambda)-bc=0 \Rightarrow \!$

$\Rightarrow \; ad- (a+d)\lambda + \lambda^2 -bc=0 \; \Rightarrow \!$

$\Rightarrow \; \lambda^2 - (a+d) \lambda + ad-bc=0 \!$ (polinom caracteristic)

Generalizare

$A^n- (Tr \; A) \cdot A^{n-1} + (det \; A) \cdot I_n=0. \!$