Inegalitatea mediilor

Fie numerele reale strict mai mari decât zero : $\ a$, $\ b$, $\ x_1$, $\ x_2$, ...,$\ x_n$ avem formulele :

• Media aritmetică a numerelor $\ a$ și $\ b$ este $\ m_a$ = ${a+b}\over 2$.
  • Generalizare : Media aritmetică a numerelor $\ x_1$, $\ x_2$, ...,$\ x_n$ este $\ m_a$ = ${x_1+x_2+...+x_n}\over n$.
• Media armonică a numerelor $\ a$ și $\ b$ este $\ m_h$ = $2\over {{1 \over a}+{1 \over b}}$.
  • Generalizare : Media armonică a numerelor $\ x_1$, $\ x_2$, ...,$\ x_n$ este $\ m_h$ = $n\over {{1 \over x_1}+{1 \over x_2}+...+{1 \over x_n}}$.
• Media geometrică a numerelor $\ a$ și $\ b$ este $\ m_g$ = $\sqrt{a \cdot b}$.
  • Generalizare : Media geometrică a numerelor $\ x_1$, $\ x_2$, ...,$\ x_n$ este $\ m_g$ = $\sqrt[n]{x_1 \cdot x_2\cdot ...\cdot x_n}$.
• Media pătratică a numerelor $\ a$ și $\ b$ este $\ m_p$ = $\sqrt{{a^2+b^2}\over 2}$.
  • Generalizare : Media pătratică a numerelor $\ x_1$, $\ x_2$, ...,$\ x_n$ este $\ m_p$ = $\sqrt{{x_1^2+ x_2^2 +... +x_n^2}\over n}$.

Inegalitatea mediilor

• $\min (a, b)\le m_h \le m_g \le m_a \le m_p \le \max(a,b)$
• $\min (a, b)\le {2\over {{1 \over a}+{1 \over b}}} \le {\sqrt{a\cdot b}} \le {{a+b}\over 2} \le \sqrt{{a^2+b^2}\over 2} \le \max(a,b)$

În cuvinte, mediile armonică, geometrică, aritmetică și pătratică se află între a și b. Egalitatea se obține dacă a = b.

Generalizare

• $\min (x_1,x_2,...,x_n)\le m_h \le m_g \le m_a \le m_p \le \max(x_1,x_2,...,x_n)$
• $\min (x_1,x_2,...,x_n)\le {n\over {{1 \over x_1}+{1 \over x_2}+...+{1 \over x_n}}} \le {\sqrt[n]{x_1 \ x_2 \ ...\ x_n}} \le {{x_1+x_2+...+x_n}\over n} \le {\sqrt{{x_1^2+ x_2^2 +... +x_n^2}\over n}} \le \max(x_1,x_2,...,x_n)$
• Egalitatea se obține pentru x₁ = x₂ = ... = x_n . Este atribuită lui Augustin Louis Cauchy.

Vezi și

• Medie
• Medie armonică
• Medie geometrică
• Medie pătratică