Inegalitatea lui Bessel

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Inegalitatea lui Bessel este, în analiza funcțională, o teoremă referitoare la legătura dintre coeficienții unui element X dintr-un spațiu Hilbert și un șir ortonormal. Poartă numele matematicianului german Friedrich Wilhelm Bessel.

Fie H un spațiu Hilbert și să presupunem că e_1, e_2, ... este un șir ortonormat în H. Atunci, pentru orice x in H avem:

\sum_{k=1}^{\infty}\left\vert\left\langle x,e_k\right\rangle \right\vert^2 \le \left\Vert x\right\Vert^2 unde <∙,∙> semnifică produsul intern în cadrul spațiului Hilbert H.

Dacă definim suma infinită:

x' = \sum_{k=1}^{\infty}\left\langle x,e_k\right\rangle e_k,

fiind suma infinită a proiecțiilor vectorilor x pe direcția e_k, inegalitatea lui Bessel conduce deci la concluzia că această serie este convergentă.

Inegalitatea lui Bessel rezultă din identitatea:

\left\| x - \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle e_k\right\|^2 = \|x\|^2 - 2 \sum_{k=1}^n |\langle x, e_k \rangle |^2 + \sum_{k=1}^n | \langle x, e_k \rangle |^2 = \|x\|^2 - \sum_{k=1}^n | \langle x, e_k \rangle |^2,

valabilă pentru orice n, cu excepția cazului când n este mai mic decât 1.