Teorema lui Euler (geometrie)

Teorema lui Euler din geometrie stabilește relația dintre distanța între centrul cercului circumscris unui triunghi și centrul cercului înscris în acel triunghi și razele acestor cercuri.

Enunț

Fie triunghiul ABC. Notând:

• O - centrul cercului circumscris triunghiului
• I - centrul cercului înscris în triunghi
• R - raza cercului circumscris
• r - raza cercului înscris
• d - distanța dinte O și I

Atunci e valabilă următoarea egalitate:

$d^{2}=R(R-2r)\,$.

De aici, rezultă și inegalitatea lui Euler:

$R\geq 2r$.

Demonstrație

Se notează:

• L - punctul în care bisectoarea AI intersectează a doua oară cercul circumscris
• M - punctul diametral opus lui L
• D - proiecția lui I pe latura ${\overline {AB}}$
• P, Q - punctele în care dreapta OI intersectează cercul circumscris.
• $\alpha ,\beta ,\gamma \,$ - unghiurile triunghiului $ABC\,$

Triunghiurile dreptunghice $ADI,\;MBL\,$ sunt asemenea. Se obține:

${\frac {\overline {ID}}{\overline {LB}}}={\frac {\overline {AI}}{\overline {ML}}}$.

De aici:

$2Rr={\overline {AI}}\cdot {\overline {LB}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$

Mai departe:

$\angle BIL={\frac {\alpha }{2}}+{\frac {\beta }{2}}$.

Dar

$\angle LBI={\frac {\beta }{2}}+\angle LBC={\frac {\beta }{2}}+{\frac {\alpha }{2}}$

Așadar, triunghiul $IBL\,$ este isoscel. Deci ${\overline {LI}}={\overline {LB}}$

Relația (1) devine:

$2Rr={\overline {AI}}\cdot {\overline {LI}}\;\;\;\;(2)$

Dar puterea punctului I față de cercul circumscris poate fi scrisă în două moduri:

${\overline {PI}}\cdot {\overline {QI}}={\overline {AI}}\cdot {\overline {LI}}$

Ținând cont că ${\overline {PI}}\cdot {\overline {QI}}=2Rr$ , înlocuind în (2), se obține:

$(R+d)(R-d)=2Rr\,$

$d^{2}=R^{2}-2Rr=R(R-2r)\,$.

Bibliografie

• Nicolescu, L.; Boskoff, V. - Probleme practice de geometrie, Editura Tehnică, București, 1990

Legături externe

• en Teorema lui Euler la MathWorld