Teorema lui Euler (geometrie)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Salt la: Navigare, căutare

Teorema lui Euler din geometrie stabileşte distanţa dintre centrul cercului circumscris unui triunghi şi centrul cercului înscris în triunghi şi razele acestora.

Cuprins

[modifică] Enunţ

Fie triunghiul ABC. Notăm:

  • O - centrul cercului circumscris triunghiului
  • I - centrul cercului înscris în triunghi
  • R - raza cercului circumscris
  • r - raza cercului înscris
  • d - distanţa dinte O şi I

Avem:

d^2 = R(R-2r) \,.

Rezultă inegalitatea lui Euler:


R \ge 2r .

[modifică] Demonstraţie

Notăm:

  • L - punctul in care bisectoarea AI intersectează a doua oară cercul circumscris
  • M - punctul diametral opus lui L
  • D - proiecţia lui I pe latura \overline{AB}
  • P, Q - punctele în care dreapta OI intersectează cercul circumscris.
  • \alpha , \beta , \gamma \, - unghiurile triunghiului ABC \,


Triunghiurile dreptunghice ADI , \; MBL \, sunt asemenea. Obţinem:


\frac {\overline{ID}}{\overline{LB}} = \frac{\overline{AI}}{\overline{ML}} .


De aici:

2Rr = \overline{AI} \cdot \overline{LB} \; \; \; \; \; \; \; \; \; (1)


Mai departe, avem:

\angle BIL = \frac {\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} .

Dar

\angle LBI =\frac {\beta}{2} + \angle LBC = \frac{\beta}{2} + \frac{\alpha}{2}


Aşadar, triunghiul IBL \, este isoscel. Deci \overline{LI} = \overline{LB}


Relaţia (1) devine:


2Rr = \overline {AI} \cdot \overline {LI} \; \; \; \; (2)

Dar puterea punctului I faţă de cercul circumscris poate fi scrisă în două moduri:


\overline{PI} \cdot \overline{QI} = \overline{AI} \cdot \overline{LI}


Ţinând cont că \overline{PI} \cdot \overline{QI} = 2Rr , înlocuind în (2), obţinem:


(R+d)(R-d) = 2Rr \,


d^2 = R^2 - 2Rr = R (R-2r) \,.

[modifică] Bibliografie

  • Nicolescu, L.; Boskoff, V. - Probleme practice de geometrie, Editura Tehnică, Bucureşti, 1990

[modifică] Legături externe

Adus de la http://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_lui_Euler_(geometrie)
Unelte personale