Teorema lui Euler (geometrie)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Teorema lui Euler din geometrie stabilește relația dintre distanța între centrul cercului circumscris unui triunghi și centrul cercului înscris în acel triunghi și razele acestor cercuri.

Enunț[modificare | modificare sursă]

Fie triunghiul ABC. Notând:

  • O - centrul cercului circumscris triunghiului
  • I - centrul cercului înscris în triunghi
  • R - raza cercului circumscris
  • r - raza cercului înscris
  • d - distanța dinte O și I

Rezultă:

 d^2 = R(R-2r) \,.

De aici, rezultă și inegalitatea lui Euler:


  R \ge 2r .

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Se notează:

  • L - punctul în care bisectoarea AI intersectează a doua oară cercul circumscris
  • M - punctul diametral opus lui L
  • D - proiecția lui I pe latura  \overline{AB}
  • P, Q - punctele în care dreapta OI intersectează cercul circumscris.
  •  \alpha , \beta , \gamma \, - unghiurile triunghiului  ABC \,

Triunghiurile dreptunghice  ADI , \; MBL \, sunt asemenea. Se obține:

 \frac {\overline{ID}}{\overline{LB}} = \frac{\overline{AI}}{\overline{ML}} .

De aici:

 2Rr = \overline{AI} \cdot \overline{LB}  \; \; \; \; \; \; \; \; \; (1)

Mai departe:

 \angle BIL = \frac {\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} .

Dar

 \angle LBI =\frac {\beta}{2} + \angle LBC = \frac{\beta}{2} + \frac{\alpha}{2}

Așadar, triunghiul  IBL \, este isoscel. Deci  \overline{LI} = \overline{LB}

Relația (1) devine:

 2Rr = \overline {AI} \cdot \overline {LI}  \; \; \; \; (2)

Dar puterea punctului I față de cercul circumscris poate fi scrisă în două moduri:

 \overline{PI} \cdot \overline{QI} = \overline{AI} \cdot \overline{LI}

Ținând cont că  \overline{PI} \cdot \overline{QI} = 2Rr , înlocuind în (2), se obține:

 (R+d)(R-d) = 2Rr \,
 d^2 = R^2 - 2Rr = R (R-2r) \,.

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Nicolescu, L.; Boskoff, V. - Probleme practice de geometrie, Editura Tehnică, București, 1990

Legături externe[modificare | modificare sursă]